Упр.944 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x) =lnx — x на отрезке [1/2;3];
2) f(x) =x + e^-x на отрезке [-1;2];
3) f(x) =2cosx-cos2x на отрезке [0;пи].

1. $$f(x)=\ln x-x,\quad x\in\left[\frac12;3\right]$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac1x-1$$

   Критическая точка:

   $$\frac1x-1=0 \;\Rightarrow\; x=1$$

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$f\left(\frac12\right)=\ln\frac12-\frac12=-\ln 2-\frac12$$

   $$f(1)=\ln 1-1=-1$$

   $$f(3)=\ln 3-3$$

   Сравнивая значения, получаем:

   $$f\left(\frac12\right)

   Значит, наименьшее значение достигается при $$x=\frac12$$, а наибольшее — при $$x=1$$.

2. $$f(x)=x+e^{-x},\quad x\in[-1;2]$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1-e^{-x}$$

   Критическая точка:

   $$1-e^{-x}=0 \;\Rightarrow\; e^{-x}=1 \;\Rightarrow\; x=0$$

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$f(-1)=-1+e=e-1$$

   $$f(0)=0+1=1$$

   $$f(2)=2+e^{-2}=2+\frac1{e^2}$$

   Сравнивая значения, получаем:

   $$f(0)

   Следовательно, $$\min f(x)=1$$, $$\max f(x)=2+\frac1{e^2}$$.

3. $$f(x)=2\cos x-\cos 2x,\quad x\in[0;\pi]$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-2\sin x+2\sin 2x$$

   Преобразуем:

   $$f'(x)=2(\sin 2x-\sin x)=2\sin x(2\cos x-1)$$

   Критические точки:

   $$2\sin x(2\cos x-1)=0$$

   $$\sin x=0 \;\Rightarrow\; x=0,\pi$$

   $$2\cos x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos x=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{3}$$

   Вычислим значения функции в этих точках:

   $$f(0)=2\cos 0-\cos 0=2-1=1$$

   $$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{2\pi}{3}=2\cdot\frac12-\left(-\frac12\right)=\frac32$$

   $$f(\pi)=2\cos\pi-\cos 2\pi=2\cdot(-1)-1=-3$$

   Следовательно, $$\min f(x)=-3$$, $$\max f(x)=\frac32$$.

Ответ

1) $$\min f(x)=\ln 3-3,\quad \max f(x)=-1$$;

2) $$\min f(x)=1,\quad \max f(x)=2+\frac1{e^2}$$;

3) $$\min f(x)=-3,\quad \max f(x)=\frac32$$.