Упр.943 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 943 Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2, найти прямоугольник с наименьшим периметром. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 943 1111

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда по условию

$$ab=9.$$

Периметр прямоугольника

$$P=2(a+b).$$

Выразим одну сторону через другую: пусть $$a=x$$, тогда

$$b=\frac{9}{x}, \quad x>0.$$

Тогда периметр как функция одной переменной:

$$P(x)=2\left(x+\frac{9}{x}\right), \quad x>0.$$

Найдём минимум этой функции:

$$P'(x)=2\left(1-\frac{9}{x^2}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2\left(1-\frac{9}{x^2}\right)=0,$$

$$1-\frac{9}{x^2}=0,$$

$$x^2=9,$$

$$x=3 \quad (\text{так как } x>0).$$

При $$x<3$$ производная отрицательна, а при $$x>3$$ положительна, значит, при $$x=3$$ достигается минимум периметра.

Тогда

$$a=3,\qquad b=\frac{9}{3}=3.$$

Следовательно, искомый прямоугольник — квадрат со стороной 3 см.

Ответ

Квадрат со стороной 3 см.