Упр.942 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 942 Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоугольник наибольшей площади. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 942 1111

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда его периметр

$$p=2(a+b).$$

Выразим одну из сторон через другую:

$$b=\frac{p}{2}-a.$$

Тогда площадь прямоугольника равна

$$S=ab=a\left(\frac{p}{2}-a\right)=\frac{p}{2}a-a^2.$$

Рассмотрим эту площадь как функцию:

$$S(a)=\frac{p}{2}a-a^2,$$

где $$a>0$$ и $$b>0$$.

Найдём производную:

$$S'(a)=\frac{p}{2}-2a.$$

Приравняем её к нулю:

$$\frac{p}{2}-2a=0,$$

$$a=\frac{p}{4}.$$

Так как

$$S»(a)=-2<0,$$

то в этой точке достигается максимум площади.

Тогда

$$b=\frac{p}{2}-\frac{p}{4}=\frac{p}{4}.$$

Следовательно, прямоугольник наибольшей площади — это квадрат.

Ответ

Квадрат со стороной $$\frac{p}{4}$$.