Упр.942 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Из всех прямоугольников с периметром $$p$$ найти прямоугольник наибольшей площади.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда его периметр

$$p=2(a+b).$$

Выразим одну сторону через другую:

$$b=\frac{p}{2}-a.$$

Тогда площадь прямоугольника равна

$$S=ab=a\left(\frac{p}{2}-a\right)=\frac{p}{2}a-a^2.$$

Рассмотрим функцию

$$S(a)=\frac{p}{2}a-a^2.$$

Найдём её производную:

$$S'(a)=\frac{p}{2}-2a.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{p}{2}-2a=0,$$

откуда

$$a=\frac{p}{4}.$$

Так как

$$S»(a)=-2<0,$$

то в этой точке достигается максимум площади.

Тогда

$$b=\frac{p}{2}-\frac{p}{4}=\frac{p}{4}.$$

Следовательно, наибольшую площадь имеет квадрат со стороной $$\frac{p}{4}$$.

Ответ: квадрат со стороной $$\frac{p}{4}$$.