Упр.941 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Записать число $$625$$ в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Пусть одно из чисел равно $$x$$, тогда второе равно $$\frac{625}{x}$$, где $$x>0$$.

Тогда сумма квадратов этих чисел:

$$f(x)=x^2+\left(\frac{625}{x}\right)^2=x^2+\frac{625^2}{x^2}.$$

Найдём минимум функции:

$$f'(x)=2x-\frac{2\cdot 625^2}{x^3}=2\left(x-\frac{625^2}{x^3}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2\left(x-\frac{625^2}{x^3}\right)=0,$$

$$x-\frac{625^2}{x^3}=0,$$

$$x^4=625^2.$$

Так как $$x>0$$, получаем:

$$x^2=625,\quad x=25.$$

Тогда второе число:

$$\frac{625}{25}=25.$$

Следовательно, наименьшая сумма квадратов получается при разложении числа $$625$$ на множители $$25$$ и $$25$$.

Ответ: $$25$$ и $$25$$.