Упр.940 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Число $$50$$ записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

Пусть одно число равно $$x,$$ тогда второе число равно $$50-x.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$f(x)=x^3+(50-x)^3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-3(50-x)^2=3\bigl(x^2-(50-x)^2\bigr).$$

Упростим:

$$x^2-(50-x)^2=x^2-(2500-100x+x^2)=100x-2500,$$

значит

$$f'(x)=3(100x-2500)=300x-7500.$$

Приравняем производную к нулю:

$$300x-7500=0,$$

$$x=25.$$

Так как при $$x<25$$ производная отрицательна, а при $$x>25$$ положительна, то при $$x=25$$ функция достигает минимума.

Тогда второе число:

$$50-25=25.$$

Ответ: $$25+25.$$