Упр.940 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 940 Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 940 1111

Подробный ответ

Пусть одно число равно $$x$$, тогда второе равно $$50-x$$. Рассмотрим сумму кубов:

$$f(x)=x^3+(50-x)^3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-3(50-x)^2=3\bigl(x^2-(50-x)^2\bigr).$$

Упростим:

$$f'(x)=3\bigl(x-(50-x)\bigr)\bigl(x+(50-x)\bigr)=3(2x-50)\cdot 50=300x-7500.$$

Приравняем производную к нулю:

$$300x-7500=0,$$

$$x=25.$$

Так как при $$x<25$$ производная отрицательна, а при $$x>25$$ положительна, то в точке $$x=25$$ функция достигает минимума.

Тогда второе число: