Упр.939 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:
- $$f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$;
- $$f(x)=\frac{2}{x}-x^2$$ на промежутке $$(-\infty;0)$$.
1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}, \quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-\frac{32}{x^3}.$$
Критические точки найдём из уравнения $$f'(x)=0$$:
$$2x-\frac{32}{x^3}=0 \\\\ 2x^4-32=0 \\\\ x^4=16 \\\\ x=2$$
Так как $$x>0,$$ точка $$x=-2$$ не подходит.
Проверим значение функции в найденной точке:
$$f(2)=2^2+\frac{16}{2^2}=4+4=8.$$
При $$x\to 0+$$ и при $$x\to +\infty$$ значение функции стремится к бесконечности, значит найденное значение является наименьшим, а наибольшего значения на промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ нет.
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{2}{x}-x^2, \quad x<0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}-2x.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$-\frac{2}{x^2}-2x=0 \\\\ -\frac{2(1+x^3)}{x^2}=0 \\\\ 1+x^3=0 \\\\ x^3=-1 \\\\ x=-1.$$
Точка $$x=-1$$ принадлежит промежутку $$(-\infty;0).$$
Найдём значение функции в этой точке:
$$f(-1)=\frac{2}{-1}-(-1)^2=-2-1=-3.$$
При $$x\to -\infty$$ и при $$x\to 0-$$ функция убывает без ограничения, поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=-1$$, а наименьшего значения на промежутке $$(-\infty;0)$$ нет.
Ответ
1) $$y_{\min}=8,$$ $$y_{\max}$$ не существует.
2) $$y_{\max}=-3,$$ $$y_{\min}$$ не существует.
