Упр.938 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) f (x) = х4 — 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2];
2) f(x) = x + 1/x на отрезке [-2;-0,5];
3) f (x) = sin х + cos х на отрезке [пи;3пи/2].

Подробный ответ

$$f(x)=x^4-8x^2+5,\quad x\in[-3;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$
Критические точки на отрезке: $$x=-2,\;0,\;2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$ f(-3)=81-72+5=14,\quad f(-2)=16-32+5=-11, $$
$$ f(0)=5,\quad f(2)=16-32+5=-11. $$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-11,$$ а наибольшее — $$14.$$
$$f(x)=x+\frac{1}{x},\quad x\in[-2;-0{,}5].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}.$$
Критические точки:
$$ 1-\frac{1}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=1 \;\Rightarrow\; x=\pm1. $$
На данном отрезке лежит только $$x=-1.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$ f(-2)=-2-\frac12=-\frac52,\quad f(-1)=-1-1=-2,\quad f\left(-0{,}5\right)=-0{,}5-2=-\frac52. $$
Значит, $$y_{\min}=-\frac52,$$ $$y_{\max}=-2.$$
$$f(x)=\sin x+\cos x,\quad x\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\cos x-\sin x.$$
Критическая точка:
$$ \cos x-\sin x=0 \;\Rightarrow\; \tan x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n. $$
На отрезке $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$ лежит точка $$x=\frac{5\pi}{4}.$$
Вычислим значения функции:
$$ f(\pi)=\sin\pi+\cos\pi=0-1=-1, $$
$$ f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4} =-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2, $$
$$ f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\sin\frac{3\pi}{2}+\cos\frac{3\pi}{2}=-1+0=-1. $$
Следовательно, $$y_{\min}=-\sqrt2,$$ $$y_{\max}=-1.$$