Упр.937 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=2x^3+3x^2-36x$$: 1) на отрезке $$[-4;3]$$; 2) на отрезке $$[-2;1]$$.

Найдём производную функции $$f(x)=2x^3+3x^2-36x.$$

$$f'(x)=6x^2+6x-36=6(x^2+x-6)=6(x+3)(x-2).$$

Критические точки: $$x=-3,\; x=2.$$

1) На отрезке $$[-4;3]$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:

$$f(-4)=2\cdot(-4)^3+3\cdot(-4)^2-36\cdot(-4)= -128+48+144=64,$$

$$f(-3)=2\cdot(-3)^3+3\cdot(-3)^2-36\cdot(-3)= -54+27+108=81,$$

$$f(2)=2\cdot2^3+3\cdot2^2-36\cdot2=16+12-72=-44,$$

$$f(3)=2\cdot3^3+3\cdot3^2-36\cdot3=54+27-108=-27.$$

Следовательно, на отрезке $$[-4;3]$$:

$$f_{\min}=-44,\qquad f_{\max}=81.$$

2) На отрезке $$[-2;1]$$

Критические точки $$x=-3$$ и $$x=2$$ не принадлежат этому отрезку, поэтому достаточно проверить концы:

$$f(-2)=2\cdot(-2)^3+3\cdot(-2)^2-36\cdot(-2)= -16+12+72=68,$$

$$f(1)=2\cdot1^3+3\cdot1^2-36\cdot1=2+3-36=-31.$$

Значит, на отрезке $$[-2;1]$$:

$$f_{\min}=-31,\qquad f_{\max}=68.$$

Ответ

1) $$f_{\min}=-44,\; f_{\max}=81.$$

2) $$f_{\min}=-31,\; f_{\max}=68.$$