Упр.935 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Построить график функции $$y=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}$$. Сколько действительных корней имеет уравнение $$\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=C$$ при различных значениях $$C$$?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}.$$

Ход решения

1. Область определения:

$$x\ne 1.$$

2. Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^3-4)'(x-1)^3-(x^3-4)\bigl((x-1)^3\bigr)’}{(x-1)^6} =\frac{3x^2(x-1)^3-3(x^3-4)(x-1)^2}{(x-1)^6}.$$

Вынесем общий множитель:

$$y’=\frac{(x-1)^2\bigl(3x^2(x-1)-3(x^3-4)\bigr)}{(x-1)^6} =\frac{3x^2(x-1)-3(x^3-4)}{(x-1)^4}.$$

Упростим числитель:

$$3x^2(x-1)-3(x^3-4)=3x^3-3x^2-3x^3+12=12-3x^2.$$

Значит,

$$y’=\frac{12-3x^2}{(x-1)^4}=\frac{3(4-x^2)}{(x-1)^4}.$$

3. Стационарные точки:

$$12-3x^2=0 \quad \Rightarrow \quad 4-x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 2.$$

4. Значения функции в этих точках:

$$f(-2)=\frac{(-2)^3-4}{(-2-1)^3}=\frac{-8-4}{(-3)^3}=\frac{-12}{-27}=\frac49,$$

$$f(2)=\frac{2^3-4}{(2-1)^3}=\frac{8-4}{1}=4.$$

5. Исследуем знак производной:

Так как $$\,(x-1)^4>0$$ при $$x\ne 1,$$ знак $$y’$$ определяется выражением $$4-x^2.$$

при $$x<-2$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
при $$-2<x<2$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает;
при $$x>2$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает.

Следовательно, в точке $$x=-2$$ — минимум, а в точке $$x=2$$ — максимум.

6. Горизонтальная асимптота:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4}{(x-1)^3} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{4}{x^3}}{\left(1-\frac1x\right)^3}=1.$$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=1.$$

По найденным экстремумам и асимптоте получаем график функции: слева ветвь имеет минимум $$\left(-2,\frac49\right)$$ и стремится к $$+\infty$$ при $$x\to 1-$$, справа ветвь идёт от $$-\infty$$ при $$x\to 1+$$, достигает максимума $$\left(2,4\right)$$ и затем убывает к $$1$$.

7. Теперь рассмотрим уравнение

$$\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=C.$$

Число его действительных корней равно числу точек пересечения графика функции $$y=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}$$ с прямой $$y=C.$$

Из графика и исследования функции получаем:

если $$C<\frac49$$ или $$C>4,$$ то уравнение имеет один корень;
если $$C=\frac49$$ или $$C=4,$$ то уравнение имеет два корня;
если $$\frac49<C<1$$ или $$1<C<4,$$ то уравнение имеет три корня;
если $$C=1,$$ то корней нет, так как горизонтальная асимптота $$y=1$$ графиком не пересекается.

Ответ

$$y=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}$$ имеет область определения $$x\ne 1$$, минимум в точке $$\left(-2,\frac49\right)$$, максимум в точке $$\left(2,4\right)$$ и горизонтальную асимптоту $$y=1.$$

Уравнение $$\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=C$$ имеет:

1 корень при $$C<\frac49$$ или $$C>4$$;

2 корня при $$C=\frac49$$ или $$C=4$$;

3 корня при $$\frac49<C<1$$ или $$1<C<4$$;

0 корней при $$C=1.$$