Упр.934 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) х4 — 4х3 + 20 = 0;
2) 8х3 — 3х4 — 7 = 0.

Подробный ответ

$$x^4-4x^3+20=0$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-4x^3+20.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3).$$
Критические точки:
$$4x^2(x-3)=0 \Rightarrow x=0,\; x=3.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<3$$ имеем $$f'(x)<0$$, а при $$x>3$$ имеем $$f'(x)>0.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;3)$$ и возрастает на $$(3;+\infty).$$
В точке $$x=3$$ достигается минимум:
$$f(3)=3^4-4\cdot 3^3+20=81-108+20=-7.$$
Так как $$f(0)=20>0$$, а $$f(3)=-7<0,$$ график пересекает ось $$Ox$$ дважды: один раз на промежутке $$(-\infty;3)$$ и один раз на промежутке $$(3;+\infty).$$
$$8x^3-3x^4-7=0$$
Рассмотрим функцию $$g(x)=8x^3-3x^4-7.$$
Найдём производную:
$$g'(x)=24x^2-12x^3=12x^2(2-x).$$
Критические точки:
$$12x^2(2-x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<2$$ имеем $$g'(x)>0$$, а при $$x>2$$ имеем $$g'(x)<0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;2)$$ и убывает на $$(2;+\infty).$$
В точке $$x=2$$ достигается максимум:
$$g(2)=8\cdot 2^3-3\cdot 2^4-7=64-48-7=9.$$
Так как $$g(0)=-7<0$$, а $$g(2)=9>0,$$ график пересекает ось $$Ox$$ дважды: один раз на промежутке $$(-\infty;2)$$ и один раз на промежутке $$(2;+\infty).$$