Упр.933 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) $$y=\frac{x^2}{x-2}$$
$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$
$$y’=\frac{(x^2)'(x-2)-x^2(x-2)’}{(x-2)^2}=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$$
$$y’=0 \iff x(x-4)=0 \iff x=0 \text{ или } x=4$$
$$y(0)=0,\qquad y(4)=\frac{16}{2}=8$$
Так как $$\,(x-2)^2>0\,$$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется числителем $$x(x-4).$$ Поэтому функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$ и убывает на $$(0;2)\cup(2;4).$$
В точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=4$$ — минимум.
2) $$y=\frac{-x^2+3x-1}{x}=-x+3-\frac1x$$
$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$y’=-1+\frac{1}{x^2}=\frac{1-x^2}{x^2}$$
$$y’=0 \iff 1-x^2=0 \iff x=\pm1$$
$$y(-1)=1+3+1=5,\qquad y(1)=-1+3-1=1$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то знак $$y’$$ определяется числителем $$1-x^2.$$ Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и возрастает на $$(-1;0)\cup(0;1).$$
В точке $$x=-1$$ — минимум, в точке $$x=1$$ — максимум.
3) $$y=\frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$$
$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$
$$y’=\frac{(4+x-2x^2)'(x-2)^2-(4+x-2x^2)\cdot 2(x-2)}{(x-2)^4}$$
$$y’=\frac{(1-4x)(x-2)^2-2(x-2)(4+x-2x^2)}{(x-2)^4}=\frac{7x^2-24x+20}{(x-2)^4}$$
$$y’=0 \iff 7x^2-24x+20=0$$
$$D=24^2-4\cdot 7\cdot 20=16,\qquad x_{1,2}=\frac{24\pm 4}{14}$$
$$x_1=\frac{10}{7},\qquad x_2=2$$
Точка $$x=2$$ не входит в область определения, поэтому стационарная точка только $$x=\frac{10}{7}.$$
$$y\!\left(\frac{10}{7}\right)=\frac{4+\frac{10}{7}-2\left(\frac{10}{7}\right)^2}{\left(\frac{10}{7}-2\right)^2}=\frac{33}{8}$$
Так как $$\,(x-2)^4>0\,$$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется числителем $$7x^2-24x+20.$$ Поэтому функция возрастает на $$(-\infty;\frac{10}{7})\cup(2;+\infty)$$ и убывает на $$\left(\frac{10}{7};2\right).$$
В точке $$x=\frac{10}{7}$$ — максимум.
Ответ
1) $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty),$$ убывает на $$(0;2)\cup(2;4),$$ максимум при $$x=0,$$ минимум при $$x=4.$$
2) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ возрастает на $$(-1;0)\cup(0;1),$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ минимум при $$x=-1,$$ максимум при $$x=1.$$
3) $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;\frac{10}{7})\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac{10}{7};2\right),$$ максимум при $$x=\frac{10}{7}.$$
