Упр.932 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$y=xe^{-x}$$
- $$y=x e^x$$
- $$y=e^{x^2}$$
- $$y=e^{-x^2}$$
1) Для функции $$y=xe^{-x}$$ область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=(x)’e^{-x}+x(e^{-x})’=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x).$$
Стационарная точка определяется из уравнения $$y’=0$$:
$$e^{-x}(1-x)=0,$$
откуда $$x=1,$$ так как $$e^{-x}\neq 0.$$
Значение функции в этой точке:
$$y(1)=1\cdot e^{-1}=\frac1e.$$
Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется выражением $$1-x$$: при $$x<1$$ имеем $$y’>0,$$ при $$x>1$$ имеем $$y'<0.$$ Значит, функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$(1;+\infty),$$ а при $$x=1$$ достигает максимума.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0,$$
то есть $$y=0.$$
2) Для функции $$y=xe^x$$ область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=(x)’e^x+xe^x=e^x+xe^x=e^x(1+x).$$
Стационарная точка:
$$e^x(1+x)=0,$$
откуда $$x=-1.$$
Значение функции в этой точке:
$$y(-1)=-1\cdot e^{-1}=-\frac1e.$$
Так как $$e^x>0,$$ то знак производной определяется выражением $$1+x$$: при $$x<-1$$ имеем $$y'<0,$$ при $$x>-1$$ имеем $$y’>0.$$ Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и возрастает на $$(-1;+\infty),$$ а при $$x=-1$$ достигает минимума.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to-\infty}xe^x=0,$$
то есть $$y=0.$$
3) Для функции $$y=e^{x^2}$$ область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=(x^2)’e^{x^2}=2xe^{x^2}.$$
Стационарная точка:
$$2xe^{x^2}=0,$$
откуда $$x=0.$$
Значение функции в этой точке:
$$y(0)=e^0=1.$$
Так как $$e^{x^2}>0,$$ то знак производной определяется знаком $$x$$: при $$x<0$$ имеем $$y'<0,$$ при $$x>0$$ имеем $$y’>0.$$ Значит, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty),$$ а при $$x=0$$ достигает минимума.
4) Для функции $$y=e^{-x^2}$$ область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=(-x^2)’e^{-x^2}=-2xe^{-x^2}.$$
Стационарная точка:
$$-2xe^{-x^2}=0,$$
откуда $$x=0.$$
Значение функции в этой точке:
$$y(0)=e^0=1.$$
Так как $$e^{-x^2}>0,$$ то знак производной определяется знаком $$-x$$: при $$x<0$$ имеем $$y’>0,$$ при $$x>0$$ имеем $$y'<0.$$ Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty),$$ а при $$x=0$$ достигает максимума.
Ответ
1) $$y=xe^{-x}$$ — максимум при $$x=1,$$ $$y_{\max}=\frac1e,$$ асимптота $$y=0.$$
2) $$y=xe^x$$ — минимум при $$x=-1,$$ $$y_{\min}=-\frac1e,$$ асимптота $$y=0.$$
3) $$y=e^{x^2}$$ — минимум при $$x=0,$$ $$y_{\min}=1.$$
4) $$y=e^{-x^2}$$ — максимум при $$x=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
