Упр.931 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$y=3x+\frac{1}{3x}$$

Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Производная:

$$y'(x)=3-\frac{1}{3x^2}.$$

Стационарные точки:

$$3-\frac{1}{3x^2}=0,$$
$$9x^2-1=0,$$
$$(3x-1)(3x+1)=0,$$
$$x=\pm \frac13.$$

Значения функции в этих точках:

$$f\!\left(-\frac13\right)=3\cdot\left(-\frac13\right)+\frac{1}{3\cdot\left(-\frac13\right)}=-1-1=-2,$$
$$f\!\left(\frac13\right)=3\cdot\frac13+\frac{1}{3\cdot\frac13}=1+1=2.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\frac13;0)\cup(0;\frac13)$$ и возрастает на $$(-\infty;-\frac13)\cup(\frac13;+\infty).$$

Точка минимума: $$x=-\frac13,$$ точка максимума: $$x=\frac13.$$

2) $$y=\frac{4}{x}-x$$

Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Производная:

$$y'(x)=-\frac{4}{x^2}-1.$$

Так как $$-\frac{4}{x^2}-1<0$$ при всех $$x\ne 0,$$ функция убывает на каждом из промежутков области определения:

$$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Нулей функции нет, так как

$$\frac{4}{x}-x=0 \;\Rightarrow\; 4-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 2.$$

Значения функции в этих точках:

$$f(-4)=\frac{4}{-4}-(-4)=-1+4=3,$$
$$f(4)=\frac{4}{4}-4=1-4=-3.$$

3) $$y=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Область определения: $$D(x)=(0;+\infty).$$

Производная:

$$y'(x)=1+\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$$

Так как при $$x>0$$ имеем $$y'(x)>0,$$ функция возрастает на $$(0;+\infty).$$

Нуль функции:

$$x-\frac{1}{\sqrt{x}}=0,$$
$$x\sqrt{x}=1,$$
$$x^{3/2}=1,$$
$$x=1.$$

Значение функции при $$x=4$$:

$$f(4)=4-\frac{1}{\sqrt{4}}=4-\frac12=\frac72=3{,}5.$$

Ответ

1) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ убывает на $$(-\frac13;0)\cup(0;\frac13),$$ возрастает на $$(-\infty;-\frac13)\cup(\frac13;+\infty).$$

2) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

3) $$D(x)=(0;+\infty),$$ функция возрастает на $$(0;+\infty),$$ нуль функции: $$x=1.$$