Упр.928 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) у = х3 — 3х2 + 2 на отрезке [-1; 3];
2) у = х4 — 10х2 + 9 на отрезке [-3; 3].
$$y=x^3-3x^2+2,\quad x\in[-1;3]$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-6x=3x(x-2)$$
Критические точки:
$$3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2+2=-2$$
$$f(0)=2$$
$$f(2)=2^3-3\cdot2^2+2=-2$$
$$f(3)=3^3-3\cdot3^2+2=2$$
Следовательно, на отрезке $$[-1;3]$$ функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[2;3]$$, убывает на $$[0;2]$$.
Для построения графика отмечаем точки $$(-1;-2),\ (0;2),\ (2;-2),\ (3;2)$$ и соединяем их плавной кубической кривой.
$$y=x^4-10x^2+9,\quad x\in[-3;3]$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-20x=4x(x^2-5)=4x(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)$$
Критические точки:
$$x=-\sqrt5,\; x=0,\; x=\sqrt5$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках, попадающих в отрезок:
$$f(-3)=(-3)^4-10\cdot(-3)^2+9=0$$
$$f(-\sqrt5)=(\sqrt5)^4-10\cdot(\sqrt5)^2+9=-16$$
$$f(0)=9$$
$$f(\sqrt5)=(\sqrt5)^4-10\cdot(\sqrt5)^2+9=-16$$
$$f(3)=3^4-10\cdot3^2+9=0$$
На отрезке $$[-3;3]$$ функция убывает на $$[-3;-\sqrt5]$$ и $$[0;\sqrt5]$$, возрастает на $$[-\sqrt5;0]$$ и $$[\sqrt5;3]$$.
Для построения графика отмечаем точки $$(-3;0),\ (-\sqrt5;-16),\ (0;9),\ (\sqrt5;-16),\ (3;0)$$ и проводим плавную четвёртую степень, симметричную относительно оси $$Oy$$.
Ответ
1) График функции $$y=x^3-3x^2+2$$ на отрезке $$[-1;3]$$ проходит через точки $$(-1;-2),\ (0;2),\ (2;-2),\ (3;2)$$; функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[2;3]$$, убывает на $$[0;2]$$.
2) График функции $$y=x^4-10x^2+9$$ на отрезке $$[-3;3]$$ проходит через точки $$(-3;0),\ (-\sqrt5;-16),\ (0;9),\ (\sqrt5;-16),\ (3;0)$$; функция возрастает на $$[-\sqrt5;0]$$ и $$[\sqrt5;3]$$, убывает на $$[-3;-\sqrt5]$$ и $$[0;\sqrt5]$$.
