Упр.922 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 922 Исследовать на экстремум функцию у = (х + 1)n е^-х, где n — натуральное число. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 922 1111

Подробный ответ

Найдём производную функции $$y=(x+1)^n e^{-x}$$, где $$n$$ — натуральное число:

$$ y’ = n(x+1)^{n-1}e^{-x}-(x+1)^n e^{-x} $$
$$ y’ = e^{-x}(x+1)^{n-1}(n-x-1). $$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$ (x+1)^{n-1}(n-x-1) $$.

Критические точки:

$$ (x+1)^{n-1}(n-x-1)=0 $$
$$ x=-1,\quad x=n-1. $$

Рассмотрим знак $$y’$$ на промежутках.

При $$x<-1$$ знак $$y’$$ зависит от чётности $$n-1$$.
При $$-1<x<n-1$$ имеем $$n-x-1>0$$, а $$x+1>0$$, значит $$y’>0$$.
При $$x>n-1$$ имеем $$n-x-1<0$$, значит $$y'<0$$.

Отсюда:

если $$n$$ нечётное, то $$n-1$$ чётно, и в точке $$x=-1$$ производная не меняет знак; единственная точка экстремума — $$x=n-1$$, это точка максимума;
если $$n$$ чётное, то $$n-1$$ нечётно, поэтому при переходе через $$x=-1$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+$$, значит $$x=-1$$ — точка минимума; при переходе через $$x=n-1$$ знак меняется с $$+$$ на $$-$$, значит $$x=n-1$$ — точка максимума.