Упр.922 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследовать на экстремум функцию $$y=(x+1)^n e^{-x}$$, где $$n$$ — натуральное число.

Найдём производную функции $$y=(x+1)^n e^{-x}.$$

По правилу произведения получаем:

$$y’ = n(x+1)^{n-1}e^{-x}-(x+1)^n e^{-x} = (x+1)^{n-1}e^{-x}(n-x-1).$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$(x+1)^{n-1}(n-x-1).$$

Критические точки:

$$(x+1)^{n-1}(n-x-1)=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1,\; x=n-1.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$n$$ чётное, то $$n-1$$ — нечётное число, и множитель $$(x+1)^{n-1}$$ меняет знак при переходе через $$x=-1$$.

   Тогда:

   • при переходе через $$x=-1$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+$$, значит в точке $$x=-1$$ — минимум;
   • при переходе через $$x=n-1$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-$$, значит в точке $$x=n-1$$ — максимум.

2. Если $$n$$ нечётное, то $$n-1$$ — чётное число, и $$(x+1)^{n-1}\ge 0$$ при всех $$x$$.

   Знак $$y’$$ определяется только множителем $$n-x-1$$:

   $$y’ > 0 \text{ при } x<n-1,\qquad y’ < 0 \text{ при } x>n-1.$$

   Значит, в точке $$x=n-1$$ — максимум.

Ответ: если $$n$$ чётное, то $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=n-1$$ — точка максимума; если $$n$$ нечётное, то $$x=n-1$$ — точка максимума.