Упр.921 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить эскиз графика функции $$y=f(x)$$, непрерывной на отрезке $$[a;b]$$, если:
1) $$a=-6$$, $$b=6$$, $$f(-6)=-6$$, $$f(6)=1$$, $$f'(x)>0$$ при $$-6
1) По знакам производной определяем промежутки монотонности:
- $$f'(x)>0$$ при $$-6<x<-4$$ и $$-1<x<4$$, значит, функция возрастает на этих промежутках;
- $$f'(x)<0$$ при $$-4<x<-1$$ и $$4<x<6$$, значит, функция убывает на этих промежутках.
Точки $$x=-4$$, $$x=-1$$ и $$x=4$$ — точки экстремума, так как в них $$f'(x)=0$$. При этом:
- в точке $$x=-4$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-$$, значит, это максимум;
- в точке $$x=-1$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+$$, значит, это минимум;
- в точке $$x=4$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-$$, значит, это максимум.
Эскиз графика должен проходить через точки $$(-6,-6)$$ и $$(6,1)$$, возрастать на $$[-6,-4]$$ и $$[-1,4]$$, убывать на $$[-4,-1]$$ и $$[4,6]$$, имея экстремумы в точках $$x=-4,-1,4$$.
2) Аналогично, по знакам производной получаем:
- $$f'(x)<0$$ при $$-4<x<-3$$ и $$0<x<3$$, значит, функция убывает на этих промежутках;
- $$f'(x)>0$$ при $$-3<x<0$$ и $$3<x<5$$, значит, функция возрастает на этих промежутках.
Точки $$x=-3$$, $$x=0$$ и $$x=3$$ — точки экстремума. Причём:
- в точке $$x=-3$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+$$, значит, это минимум;
- в точке $$x=0$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-$$, значит, это максимум;
- в точке $$x=3$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+$$, значит, это минимум.
Эскиз графика должен проходить через точки $$(-4,5)$$ и $$(5,1)$$, убывать на $$[-4,-3]$$ и $$[0,3]$$, возрастать на $$[-3,0]$$ и $$[3,5]$$, имея экстремумы в точках $$x=-3,0,3$$.
Ответ
1) График возрастает на $$[-6,-4]$$ и $$[-1,4]$$, убывает на $$[-4,-1]$$ и $$[4,6]$$; экстремумы: максимум при $$x=-4$$ и $$x=4$$, минимум при $$x=-1$$.
2) График убывает на $$[-4,-3]$$ и $$[0,3]$$, возрастает на $$[-3,0]$$ и $$[3,5]$$; экстремумы: минимум при $$x=-3$$ и $$x=3$$, максимум при $$x=0$$.
