Упр.920 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) $$y=\frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$$;
2) $$y=\frac{x^3+2x^2}{(x-1)^2}$$;
3) $$y=(x-1)e^{3x}$$;
4) $$y=\sin+1\ \sin 2x/2$$;
5) $$y=e^{\sqrt{3-x^2}}$$;
6) $$y=\sqrt{e^x-x}$$.
1) $$y=\frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{-3(2-x)^2(3-x)^2-(2-x)^3\cdot(-2)(3-x)}{(3-x)^4} =\frac{(2-x)^2(3-x)\bigl(-3(3-x)+2(2-x)\bigr)}{(3-x)^4} =\frac{(2-x)^2(x-5)}{(3-x)^3}.$$
Критические точки: $$x=2$$ и $$x=5$$, при этом $$x=3$$ не входит в область определения.
Знак производной меняется с $$+$$ на $$-$$ при переходе через $$x=5$$, значит, $$x=5$$ — точка максимума.
$$y(5)=\frac{(2-5)^3}{(3-5)^2}=\frac{-27}{4}.$$
2) $$y=\frac{x^3+2x^2}{(x-1)^2}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(3x^2+4x)(x-1)^2-(x^3+2x^2)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} =\frac{x(x+1)(x-4)}{(x-1)^3}.$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;4$$, при этом $$x=1$$ не входит в область определения.
Исследование знака производной показывает:
- $$x=-1$$ — точка максимума;
- $$x=0$$ — точка минимума;
- $$x=4$$ — точка минимума.
Значения функции в этих точках:
$$y(-1)=\frac{-1+2}{(-2)^2}=\frac14,\qquad y(0)=0,\qquad y(4)=\frac{64+32}{3^2}=\frac{96}{9}=\frac{32}{3}.$$
3) $$y=(x-1)e^{3x}$$
Найдём производную:
$$y’=e^{3x}+3(x-1)e^{3x}=e^{3x}(3x-2).$$
Так как $$e^{3x}>0$$ при всех $$x$$, то $$y’=0$$ при $$3x-2=0$$, откуда
$$x=\frac23.$$
При переходе через эту точку производная меняет знак с $$-$$ на $$+$$, значит, $$x=\frac23$$ — точка минимума.
$$y\!\left(\frac23\right)=\left(\frac23-1\right)e^2=-\frac{e^2}{3}.$$
4) $$y=\sin x+\frac12\sin 2x$$
Найдём производную:
$$y’=\cos x+\cos 2x=\cos x+(2\cos^2 x-1)=2\cos^2 x+\cos x-1.$$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда
$$2t^2+t-1=0,\qquad (2t-1)(t+1)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$
Следовательно,
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Значения функции в точках экстремума:
$$y\!\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4},$$
$$y\!\left(\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right)=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{3\sqrt3}{4}.$$
Значит,
- $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — точки максимума;
- $$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$ — точки минимума.
5) $$y=e^{\sqrt{3-x^2}}$$
Область определения: $$3-x^2\ge 0$$, то есть $$-\sqrt3\le x\le \sqrt3$$.
Найдём производную:
$$y’ = e^{\sqrt{3-x^2}}\cdot \frac{-x}{\sqrt{3-x^2}}.$$
Так как $$e^{\sqrt{3-x^2}}>0$$, то $$y’=0$$ при $$x=0$$.
При $$x<0$$ производная положительна, при $$x>0$$ — отрицательна, значит, $$x=0$$ — точка максимума.
$$y(0)=e^{\sqrt3}.$$
6) $$y=\sqrt{e^x-x}$$
Область определения задаётся неравенством
$$e^x-x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{e^x-1}{2\sqrt{e^x-x}}.$$
Знаменатель положителен на области определения, поэтому знак производной определяется числителем $$e^x-1$$.
$$e^x-1=0 \iff x=0.$$
При $$x<0$$ имеем $$e^x-1<0$$, при $$x>0$$ — $$e^x-1>0$$, значит, $$x=0$$ — точка минимума.
$$y(0)=\sqrt{e^0-0}=1.$$
Ответ
1) $$x=5$$, $$y(5)=-\frac{27}{4}$$;
2) $$x=-1,\,0,\,4$$; $$y(-1)=\frac14,\; y(0)=0,\; y(4)=\frac{32}{3}$$;
3) $$x=\frac23$$, $$y\!\left(\frac23\right)=-\frac{e^2}{3}$$;
4) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — максимум, $$y=\frac{3\sqrt3}{4}$$; $$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$ — минимум, $$y=-\frac{3\sqrt3}{4}$$, $$n\in\mathbb Z$$;
5) $$x=0$$, $$y(0)=e^{\sqrt3}$$;
6) $$x=0$$, $$y(0)=1$$.
