Упр.920 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) y=(2-x)3/(3-x)2;
2) y=(x3+2×2)/(x-1)2;
3) y= (x-1)e3x;
4) y=sin+1 sin2x/2;
5) y=e^корень (3-x2);
6) y= корень (ex-x).
$$y=\frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{-3(2-x)^2(3-x)^2-(2-x)^3\cdot(-2)(3-x)}{(3-x)^4} $$
$$ y’=\frac{(2-x)^2(3-x)\bigl(-3(3-x)+2(2-x)\bigr)}{(3-x)^4} $$
$$ y’=\frac{(2-x)^2(x-5)}{(3-x)^3} $$
Критические точки: $$x=2$$ и $$x=5$$, при этом $$x=3$$ не входит в область определения.
Знак производной меняется с «−» на «+» при $$x=2$$, значит, это точка минимума. При $$x=5$$ знак меняется с «+» на «−», значит, это точка максимума.
$$ y(2)=0,\qquad y(5)=\frac{(2-5)^3}{(3-5)^2}=-\frac{27}{4} $$
$$y=\frac{x^3+2x^2}{(x-1)^2}$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(3x^2+4x)(x-1)^2-(x^3+2x^2)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} $$
$$ y’=\frac{x(x-1)(x+1)(x-4)}{(x-1)^4} $$
Область определения: $$x\ne 1$$.
Критические точки: $$x=-1,\;x=0,\;x=4$$.
По знакам производной получаем: в точке $$x=-1$$ — максимум, в точках $$x=0$$ и $$x=4$$ — минимумы.
$$ y(-1)=\frac{(-1)^3+2(-1)^2}{(-1-1)^2}=\frac14,\qquad y(0)=0,\qquad y(4)=\frac{4^3+2\cdot 4^2}{(4-1)^2}=\frac{32}{3} $$
$$y=(x-1)e^{3x}$$
Найдём производную:
$$ y’=e^{3x}+3(x-1)e^{3x}=e^{3x}(3x-2) $$
$$ y’=0 \iff 3x-2=0 \iff x=\frac23 $$
Так как $$e^{3x}>0$$, знак производной определяется множителем $$3x-2$$. При переходе через $$x=\frac23$$ знак меняется с «−» на «+», значит, это точка минимума.
$$ y\!\left(\frac23\right)=\left(\frac23-1\right)e^2=-\frac{e^2}{3} $$
$$y=\sin x+\frac12\sin 2x$$
Найдём производную:
$$ y’=\cos x+\cos 2x $$
$$ \cos 2x=2\cos^2 x-1 $$
Тогда
$$ y’=\cos x+2\cos^2 x-1 $$
Положим $$t=\cos x$$. Получаем:
$$ 2t^2+t-1=0 $$
$$ (2t-1)(t+1)=0 $$
Отсюда $$\cos x=\frac12$$ или $$\cos x=-1$$.
Критические точки:
$$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z $$
Изменение знака производной даёт: при $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — максимум, при $$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$ — минимум.
$$ y\!\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)=\frac{3\sqrt3}{4},\qquad y\!\left(\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right)=-\frac{3\sqrt3}{4} $$
$$y=e^{\sqrt{3-x^2}}$$
Область определения:
$$ 3-x^2\ge 0 \iff -\sqrt3\le x\le \sqrt3 $$
Найдём производную:
$$ y’ = e^{\sqrt{3-x^2}}\cdot \frac{-x}{\sqrt{3-x^2}} $$
$$ y’=0 \iff x=0 $$
На промежутке $$(-\sqrt3,0)$$ производная положительна, а на $$\left(0,\sqrt3\right)$$ отрицательна, значит, в точке $$x=0$$ — максимум.
$$ y(0)=e^{\sqrt3} $$
$$y=\sqrt{e^x-x}$$
Область определения задаётся неравенством:
$$ e^x-x\ge 0 $$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{e^x-1}{2\sqrt{e^x-x}} $$
$$ y’=0 \iff e^x-1=0 \iff x=0 $$
Так как числитель меняет знак с «−» на «+», в точке $$x=0$$ — минимум.
$$ y(0)=\sqrt{e^0-0}=1 $$
Ответ
1) $$x=2$$ — точка минимума, $$y(2)=0$$; $$x=5$$ — точка максимума, $$y(5)=-\frac{27}{4}$$.
2) $$x=-1$$ — точка максимума, $$y(-1)=\frac14$$; $$x=0$$ и $$x=4$$ — точки минимума, $$y(0)=0,\; y(4)=\frac{32}{3}$$.
3) $$x=\frac23$$ — точка минимума, $$y\!\left(\frac23\right)=-\frac{e^2}{3}$$.
4) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — точки максимума, $$y=\frac{3\sqrt3}{4}$$; $$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$ — точки минимума, $$y=-\frac{3\sqrt3}{4}$$, $$n\in\mathbb Z$$.
5) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=e^{\sqrt3}$$.
6) $$x=0$$ — точка минимума, $$y(0)=1$$.
