Упр.919 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти точки экстремума функции:
1) $$y=x+\sqrt{3-x}$$;
2) $$y=(x-1)^{\frac{6}{7}}$$;
3) $$y=x-\sin 2x$$;
4) $$y=\cos 3x-3x$$.
1) $$y=x+\sqrt{3-x}$$
Найдём производную:
$$y’=1-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.$$
Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:
$$1-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0 \\\\ \frac{1}{2\sqrt{3-x}}=1 \\\\ 2\sqrt{3-x}=1 \\\\ \sqrt{3-x}=\frac12 \\\\ 3-x=\frac14 \\\\ x=\frac{11}{4}.$$
Область определения: $$3-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 3.$$
При $$x<\frac{11}{4}$$ имеем $$y’>0,$$ а при $$\frac{11}{4}<x<3$$ имеем $$y'<0.$$ Значит, в точке $$x=\frac{11}{4}$$ функция имеет максимум.
2) $$y=(x-1)^{\frac67}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac67(x-1)^{-\frac17}=\frac{6}{7\sqrt[7]{x-1}}.$$
Производная не равна нулю ни при каком $$x$$, а в точке $$x=1$$ не существует. Знак производной не меняется, поэтому точек экстремума нет.
3) $$y=x-\sin 2x$$
Найдём производную:
$$y’=1-2\cos 2x.$$
Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:
$$1-2\cos 2x=0 \\\\ \cos 2x=\frac12.$$
Отсюда
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
значит,
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
При $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точки минимума. При $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точки максимума.
4) $$y=\cos 3x-3x$$
Найдём производную:
$$y’=-3\sin 3x-3=-3(\sin 3x+1).$$
Из уравнения $$y’=0$$ получаем:
$$\sin 3x=-1.$$
Но тогда $$y’=-3(\sin 3x+1)\le 0$$ при всех $$x$$, а знак производной не меняется. Следовательно, точек экстремума нет.
Ответ
1) $$x=\frac{11}{4}$$ — точка максимума;
2) точек экстремума нет;
3) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки минимума, $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки максимума, $$n\in\mathbb Z$$;
4) точек экстремума нет.
