Упр.918 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) y= корень (2-3×2);
2) y= корень (x3-3x);
3) y=|x-1|;
4) x2- |x|-2.

Подробный ответ

$$y=\sqrt{2-3x^2}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(2-3x^2)’}{2\sqrt{2-3x^2}}=\frac{-6x}{2\sqrt{2-3x^2}}=-\frac{3x}{\sqrt{2-3x^2}}.$$
Критические точки: производная равна нулю или не существует, но функция определена.
$$y’=0 \iff -3x=0 \iff x=0.$$
Область определения:
$$2-3x^2\ge 0 \iff x^2\le \frac23 \iff -\frac{\sqrt6}{3}\le x\le \frac{\sqrt6}{3}.$$
На концах области определения производная не существует, но функция определена, значит это тоже критические точки.
Итак, критические точки:
$$x=-\frac{\sqrt6}{3},\ 0,\ \frac{\sqrt6}{3}.$$
$$y=\sqrt{x^3-3x}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x^3-3x)’}{2\sqrt{x^3-3x}}=\frac{3x^2-3}{2\sqrt{x^3-3x}}=\frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x}}.$$
Критические точки: производная равна нулю или не существует, но функция определена.
$$y’=0 \iff 3(x^2-1)=0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1.$$
Область определения:
$$x^3-3x\ge 0 \iff x(x^2-3)\ge 0 \iff x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in[-\sqrt3,0]\cup[\sqrt3,+\infty).$$
Точки, где производная не существует и функция определена, получаем из
$$x^3-3x=0 \iff x(x^2-3)=0 \iff x=0,\ \pm\sqrt3.$$
Из них в область определения входят точки $x=-\sqrt3$, $x=0$, $x=\sqrt3$.
Итак, критические точки:
$$x=-\sqrt3,\ -1,\ 0,\ 1,\ \sqrt3.$$
$$y=|x-1|$$
Функция не имеет производной в точке излома:
$$x-1=0 \iff x=1.$$
Следовательно, критическая точка:
$$x=1.$$
$$y=x^2-|x|-2$$
Рассмотрим два случая.
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$y=x^2-x-2,\qquad y’=2x-1.$$
$$2x-1=0 \iff x=\frac12.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$y=x^2+x-2,\qquad y’=2x+1.$$
$$2x+1=0 \iff x=-\frac12.$$
В точке $$x=0$$ производная не существует, но функция определена.
Итак, критические точки:
$$x=-\frac12,\ 0,\ \frac12.$$