Упр.918 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти критические точки функции:
   
   1) $$y=\sqrt{2-3x^2}$$;
   
   2) $$y=\sqrt{x^3-3x}$$;
   
   3) $$y=|x-1|$$;
   
   4) $$x^2-|x|-2$$.

1) $$y=\sqrt{2-3x^2}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(2-3x^2)’}{2\sqrt{2-3x^2}}=\frac{-6x}{2\sqrt{2-3x^2}}=-\frac{3x}{\sqrt{2-3x^2}}.$$

Критические точки — это точки, где $$y’=0$$ или производная не существует, но функция определена.

1. $$y’=0$$ при $$x=0$$.

2. Производная не существует при $$2-3x^2=0$$, то есть

$$x^2=\frac{2}{3}, \qquad x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}=\pm\frac{\sqrt6}{3}.$$

Следовательно, критические точки:

$$x=-\frac{\sqrt6}{3},\ 0,\ \frac{\sqrt6}{3}.$$

2) $$y=\sqrt{x^3-3x}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^3-3x)’}{2\sqrt{x^3-3x}}=\frac{3x^2-3}{2\sqrt{x^3-3x}}=\frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x}}.$$

Критические точки:

1. $$y’=0$$ при $$x^2-1=0$$, откуда $$x=\pm1$$.

2. Производная не существует при $$x^3-3x=0$$, то есть

$$x(x^2-3)=0,\qquad x=0,\ \pm\sqrt3.$$

Но функция определена только там, где $$x^3-3x\ge 0$$. Поэтому в число критических точек входят только те значения, при которых функция существует:

$$x=-\sqrt3,\ -1,\ 0,\ 1,\ \sqrt3.$$

3) $$y=|x-1|$$

Функция не имеет производной в точке излома:

$$x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

Значит, критическая точка одна:

$$x=1.$$

4) $$y=x^2-|x|-2$$

Рассмотрим два случая.

Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$ и

$$y=x^2-x-2,\qquad y’=2x-1.$$

Тогда

$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12.$$

Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

$$y=x^2+x-2,\qquad y’=2x+1.$$

Тогда

$$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12.$$

В точке $$x=0$$ производная не существует, значит это тоже критическая точка.

Итак, критические точки:

$$-\frac12,\ 0,\ \frac12.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\sqrt6}{3},\ 0,\ \frac{\sqrt6}{3}.$$

2) $$x=-\sqrt3,\ -1,\ 0,\ 1,\ \sqrt3.$$

3) $$x=1.$$

4) $$x=-\frac12,\ 0,\ \frac12.$$