Упр.914 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти точки экстремума функции: 1) $$y=2x^2-20x+1$$; 2) $$y=3x^2+36x-1$$; 3) $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x}$$; 4) $$y=\frac{4}{x}+\frac{x}{16}$$.
1) $$y=2x^2-20x+1$$
Найдём производную:
$$y’=4x-20$$
Приравняем её к нулю:
$$4x-20=0$$
$$x=5$$
Так как при переходе через точку $$x=5$$ производная меняет знак с «−» на «+», то это точка минимума.
2) $$y=3x^2+36x-1$$
$$y’=6x+36$$
$$6x+36=0$$
$$x=-6$$
При переходе через точку $$x=-6$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.
3) $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Найдём производную:
$$y’=\frac15-\frac{5}{x^2}$$
$$\frac15-\frac{5}{x^2}=0$$
$$x^2=25$$
$$x=\pm 5$$
Исследуем знак производной:
при $$x<-5$$ и $$x>5$$ имеем $$y’>0$$, а при $$-5<x<0$$ и $$0<x<5$$ имеем $$y'<0$$.
Значит, $$x=-5$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума.
4) $$y=\frac{4}{x}+\frac{x}{16}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Найдём производную:
$$y’=-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{16}$$
$$-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{16}=0$$
$$\frac{1}{16}=\frac{4}{x^2}$$
$$x^2=64$$
$$x=\pm 8$$
При переходе через точку $$x=-8$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. При переходе через точку $$x=8$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.
Ответ: 1) $$x=5$$ — точка минимума; 2) $$x=-6$$ — точка минимума; 3) $$x=-5$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума; 4) $$x=-8$$ — точка максимума, $$x=8$$ — точка минимума.
