Упр.913 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти стационарные точки функции: 1) $$y=\frac{2+x^2}{x}$$; 2) $$y=\frac{x^2+3}{2x}$$; 3) $$y=e^{x^2-1}$$; 4) $$y=2^{x^2+x}$$.

1. $$y=\frac{2+x^2}{x}=\frac{2}{x}+x,$$ $$x\ne 0.$$

   Найдём производную:

   $$y’=-\frac{2}{x^2}+1.$$

   Стационарные точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

   $$-\frac{2}{x^2}+1=0,$$ $$\frac{2}{x^2}=1,$$ $$x^2=2,$$ $$x=\pm\sqrt{2}.$$

2. $$y=\frac{x^2+3}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{3}{2x},$$ $$x\ne 0.$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac12-\frac{3}{2x^2}.$$

   Стационарные точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

   $$\frac12-\frac{3}{2x^2}=0,$$ $$\frac12=\frac{3}{2x^2},$$ $$x^2=3,$$ $$x=\pm\sqrt{3}.$$

3. $$y=e^{x^2-1}.$$

   Найдём производную:

   $$y’=(x^2-1)’ \cdot e^{x^2-1}=2x\cdot e^{x^2-1}.$$

   Стационарные точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

   $$2x\cdot e^{x^2-1}=0.$$

   Так как $$e^{x^2-1}>0$$ при любых $$x$$, то

   $$2x=0,$$ откуда $$x=0.$$

4. $$y=2^{x^2+x}.$$

   Найдём производную:

   $$y’=(x^2+x)’ \cdot 2^{x^2+x}\ln 2=(2x+1)\cdot 2^{x^2+x}\ln 2.$$

   Стационарные точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

   $$(2x+1)\cdot 2^{x^2+x}\ln 2=0.$$

   Так как $$2^{x^2+x}>0$$ и $$\ln 2>0,$$ то

   $$2x+1=0,$$ откуда $$x=-\frac12.$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt{2}$$; 2) $$x=\pm\sqrt{3}$$; 3) $$x=0$$; 4) $$x=-\frac12$$.