Упр.912 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти стационарные точки функции:

1. $$y=\frac{x}{2}+\frac{8}{x}$$;
2. $$y=2x^3-15x^2+36x$$;
3. $$y=e^{2x}-2e^x$$;
4. $$y=\sin x-\cos x$$.

Стационарные точки функции — это значения аргумента, при которых производная равна нулю.

1. $$y=\frac{x}{2}+\frac{8}{x}$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{1}{2}-\frac{8}{x^2}$$

   Приравняем её к нулю:

   $$\frac{1}{2}-\frac{8}{x^2}=0$$

   $$\frac{1}{2}=\frac{8}{x^2}$$

   $$x^2=16$$

   $$x=\pm 4$$

2. $$y=2x^3-15x^2+36x$$

   Найдём производную:

   $$y’=6x^2-30x+36$$

   Приравняем её к нулю:

   $$6x^2-30x+36=0$$

   $$x^2-5x+6=0$$

   $$x_1=2,\quad x_2=3$$

3. $$y=e^{2x}-2e^x$$

   Найдём производную:

   $$y’=2e^{2x}-2e^x=2e^x\left(e^x-1\right)$$

   Приравняем её к нулю:

   $$2e^x\left(e^x-1\right)=0$$

   Так как $$e^x>0$$ при любом $$x$$, то

   $$e^x-1=0$$

   $$e^x=1$$

   $$x=0$$

4. $$y=\sin x-\cos x$$

   Найдём производную:

   $$y’=\cos x+\sin x$$

   Приравняем её к нулю:

   $$\cos x+\sin x=0$$

   $$\cos x\neq 0,\quad \tg x=-1$$

   Отсюда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: 1) $$x=\pm 4$$; 2) $$x=2,\ 3$$; 3) $$x=0$$; 4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.