Упр.909 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 909 При каких значениях а функция у = ах3 + 3х2 — 2х + 5 убывает на всей числовой прямой? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 909 1111

Найдём производную функции:

$$y=ax^3+3x^2-2x+5$$

$$y’ = 3ax^2+6x-2.$$

Чтобы функция убывала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$y'<0$$

при всех значениях $$x$$.

Квадратичная функция $$3ax^2+6x-2$$ должна быть отрицательной при всех $$x$$. Для этого необходимо:

$$3a<0,$$

$$D<0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 3a\cdot(-2)=36+24a.$$

Тогда

$$36+24a<0,$$

$$24a<-36,$$

$$a<-\frac{3}{2}.$$

Это условие уже обеспечивает и $$3a<0$$.

Ответ

$$a<-\frac{3}{2}$$