Упр.909 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ функция $$y=ax^3+3x^2-2x+5$$ убывает на всей числовой прямой?

Найдём производную функции:

$$y=ax^3+3x^2-2x+5$$

$$y’ = 3ax^2+6x-2.$$

Чтобы функция убывала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$3ax^2+6x-2<0$$

при всех $$x$$. Это возможно только тогда, когда квадратный трёхчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен:

$$3a<0,$$

$$D=6^2-4\cdot 3a\cdot(-2)=36+24a\le 0.$$

Из первого неравенства получаем $$a<0$$, из второго:

$$36+24a\le 0,$$

$$24a\le -36,$$

$$a\le -\frac{3}{2}.$$

Совмещая условия, получаем:

$$a\le -\frac{3}{2}.$$

Ответ

$$a\le -\frac{3}{2}$$