Упр.908 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ функция $$y=x^3-2x^2+ax$$ возрастает на всей числовой прямой?

Найдём производную функции:

$$y’= (x^3-2x^2+ax)’=3x^2-4x+a.$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$y’>0$$

при всех $$x$$. Так как $$y’$$ — квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, это возможно только тогда, когда его дискриминант отрицателен:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot a=16-12a<0.$$

Решаем неравенство:

$$16-12a<0$$

$$12a>16$$

$$a>\frac{4}{3}.$$

Ответ

$$a>\frac{4}{3}.$$