Упр.908 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 908 При каких значениях а функция у = х3 — 2х2 + ах возрастает на всей числовой прямой? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 908 1111

Подробный ответ

Найдём производную функции:

$$y=x^3-2x^2+ax,$$

$$y’ = 3x^2-4x+a.$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$y’ \ge 0$$

при всех $$x$$.

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$3x^2-4x+a$$. Он не должен принимать отрицательных значений, значит, его дискриминант должен быть не больше нуля:

$$D = (-4)^2 — 4\cdot 3 \cdot a = 16 — 12a \le 0.$$

Тогда

$$12a \ge 16,$$

$$a \ge \frac{4}{3}.$$