Упр.907 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ функция возрастает на всей числовой прямой:

1) $$y=x^3-ax$$;

2) $$y=ax-\sin x$$?

1) Рассмотрим функцию $$y=x^3-ax.$$

Найдём производную:

$$y’ = 3x^2-a.$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$3x^2-a \ge 0$$

при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

Так как $$3x^2 \ge 0$$ при любом $$x$$, наименьшее значение выражения $$3x^2-a$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$-a$$. Значит,

$$-a \ge 0,$$

откуда

$$a \le 0.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=ax-\sin x.$$

Найдём производную:

$$y’ = a-\cos x.$$

Для возрастания на всей числовой прямой нужно, чтобы

$$a-\cos x \ge 0$$

при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

Так как $$\cos x \le 1$$, наибольшее значение $$\cos x$$ равно $$1$$. Поэтому должно выполняться

$$a-1 \ge 0,$$

то есть

$$a \ge 1.$$

Ответ: 1) $$a \le 0$$; 2) $$a \ge 1$$.