Упр.905 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=x-\sin 2x$$
2. $$y=3x+2\cos 3x$$

1) $$y=x-\sin 2x$$

Найдём производную:

$$y’=1-2\cos 2x.$$

Функция возрастает, когда $$y’>0$$:

$$1-2\cos 2x>0,$$

$$\cos 2x<\frac12.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция убывает, когда $$y'<0$$:

$$1-2\cos 2x<0,$$

$$\cos 2x>\frac12.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=3x+2\cos 3x$$

Найдём производную:

$$y’=3-6\sin 3x=3(1-2\sin 3x).$$

Функция возрастает, когда $$y’>0$$:

$$1-2\sin 3x>0,$$

$$\sin 3x<\frac12.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<3x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

или

$$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция убывает, когда $$y'<0$$:

$$1-2\sin 3x<0,$$

$$\sin 3x>\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<3x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$y=x-\sin 2x$$ возрастает на $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right)$$, убывает на $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$.

2) $$y=3x+2\cos 3x$$ возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\right)$$, убывает на $$\left(\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$.