Упр.905 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) у = 3х + 2 cos Зх.

1. $$y=x-\sin 2x$$

   Найдём производную:

   $$y’=1-2\cos 2x$$

   Функция возрастает, когда $$y’>0$$:

   $$1-2\cos 2x>0$$

   $$\cos 2x<\frac12$$

   Отсюда:

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Функция убывает, когда $$y'<0$$:

   $$1-2\cos 2x<0$$

   $$\cos 2x>\frac12$$

   Отсюда:

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$y=3x+2\cos 3x$$

   Найдём производную:

   $$y’=3-6\sin 3x=3(1-2\sin 3x)$$

   Функция возрастает, когда $$y’>0$$:

   $$1-2\sin 3x>0$$

   $$\sin 3x<\frac12$$

   Отсюда:

   $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<3x<\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

   $$-\frac{7\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

   Функция убывает, когда $$y'<0$$:

   $$1-2\sin 3x<0$$

   $$\sin 3x>\frac12$$

   Отсюда:

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<3x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

   $$\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$y=x-\sin 2x$$ возрастает на $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{5\pi}{6}+\pi n\right)$$, убывает на $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{6}+\pi n\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$.

2) $$y=3x+2\cos 3x$$ возрастает на $$\left(-\frac{7\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\right)$$, убывает на $$\left(\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3};\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$.