Упр.903 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) y=((x-2)(8-x))/x2;
3) y=(x-1)e3x;
4) y=xe^-3x.
$$y=\frac{x^3}{x^2+3}$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(x^3)'(x^2+3)-x^3(x^2+3)’}{(x^2+3)^2} =\frac{3x^2(x^2+3)-x^3\cdot 2x}{(x^2+3)^2} =\frac{x^4+9x^2}{(x^2+3)^2}. $$
Так как $$x^4+9x^2\ge 0$$ при всех $$x$$, а знаменатель всегда положителен, то $$y’\ge 0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.
Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.
$$y=\frac{(x-2)(8-x)}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Упростим выражение:
$$ y=\frac{-x^2+10x-16}{x^2}=-1+\frac{10}{x}-\frac{16}{x^2}. $$
Найдём производную:
$$ y’=-\frac{10}{x^2}+\frac{32}{x^3} =\frac{32-10x}{x^3}. $$
Исследуем знак производной:
$$ y’>0 \iff \frac{32-10x}{x^3}>0. $$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac{16}{5}$$.
Знак $$y’$$ положителен на промежутке $$\left(0;\frac{16}{5}\right)$$ и отрицателен на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$\left(\frac{16}{5};+\infty\right)$$.
$$y=(x-1)e^{3x}$$
Найдём производную:
$$ y’=(x-1)’e^{3x}+(x-1)(e^{3x})’ =e^{3x}+3(x-1)e^{3x} =e^{3x}(3x-2). $$
Так как $$e^{3x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$3x-2$$.
$$ y’>0 \iff 3x-2>0 \iff x>\frac{2}{3}, $$
$$ y’<0 \iff 3x-2<0 \iff x<\frac{2}{3}. $$
$$y=xe^{-3x}$$
Найдём производную:
$$ y’=(x)’e^{-3x}+x(e^{-3x})’ =e^{-3x}-3xe^{-3x} =e^{-3x}(1-3x). $$
Так как $$e^{-3x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$1-3x$$.
$$ y’>0 \iff 1-3x>0 \iff x<\frac{1}{3}, $$
$$ y’<0 \iff 1-3x<0 \iff x>\frac{1}{3}. $$
Ответ
1) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
2) возрастает на $$\left(0;\frac{16}{5}\right)$$, убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(\frac{16}{5};+\infty\right)$$;
3) возрастает на $$\left(\frac{2}{3};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac{2}{3}\right)$$;
4) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{1}{3}\right)$$, убывает на $$\left(\frac{1}{3};+\infty\right)$$.
