Упр.900 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
   1) $$y=x^2-x$$;
   2) $$y=5x^2-3x-1$$;
   3) $$y=x^2+2x$$;
   4) $$y=x^2+12x-100$$;
   5) $$y=x^3-3x$$;
   6) $$y=x^4-2x^2$$;
   7) $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$;
   8) $$y=x^3-6x^2+9$$.

1) $$y=x^2-x$$

$$y’=2x-1$$

$$2x-1>0 \Rightarrow x>\frac12$$

Значит, функция возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right).$$

2) $$y=5x^2-3x-1$$

$$y’=10x-3$$

$$10x-3>0 \Rightarrow x>\frac3{10}$$

Значит, функция возрастает на $$\left(\frac3{10};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;\frac3{10}\right).$$

3) $$y=x^2+2x$$

$$y’=2x+2=2(x+1)$$

$$2(x+1)>0 \Rightarrow x>-1$$

Значит, функция возрастает на $$(-1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1).$$

4) $$y=x^2+12x-100$$

$$y’=2x+12=2(x+6)$$

$$2(x+6)>0 \Rightarrow x>-6$$

Значит, функция возрастает на $$(-6;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-6).$$

5) $$y=x^3-3x$$

$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

$$3(x-1)(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>1$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-1;1).$$

6) $$y=x^4-2x^2$$

$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$

Исследуем знак производной по промежуткам, разделённым точками $$-1,0,1$$:

$$y’>0$$ при $$x\in(-1;0)\cup(1;+\infty),$$

$$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

Значит, функция возрастает на $$(-1;0)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

7) $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$

$$y’=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)=6(x+2)(x-3)$$

$$6(x+2)(x-3)>0 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>3$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$$ и убывает на $$(-2;3).$$

8) $$y=x^3-6x^2+9$$

$$y’=3x^2-12x=3x(x-4)$$

$$3x(x-4)>0 \Rightarrow x<0 \text{ или } x>4$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$ и убывает на $$\left(0;4\right).$$

Ответ

1) возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right)$$;

2) возрастает на $$\left(\frac3{10};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac3{10}\right)$$;

3) возрастает на $$(-1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$;

4) возрастает на $$(-6;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-6)$$;

5) возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$, убывает на $$(-1;1)$$;

6) возрастает на $$(-1;0)\cup(1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)\cup(0;1)$$;

7) возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$$, убывает на $$(-2;3)$$;

8) возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$, убывает на $$\left(0;4\right).$$