Упр.900 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = х2 — х;
2) у = 5х2 — 3х — 1;
3) у = х2 + 2х;
4) у = х2 + 12х — 100;
5) у — х3 — 3х;
6) у = х4 — 2х2;
7) у = 2х3 — Зх2 — 36х + 40;
8) у = х3 — 6х2 + 9.

1. $$y=x^2-x$$

   $$y’=2x-1$$

   $$2x-1>0 \Rightarrow x>\frac12$$

   Значит, функция возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right).$$

2. $$y=5x^2-3x-1$$

   $$y’=10x-3$$

   $$10x-3>0 \Rightarrow x>\frac{3}{10}$$

   Значит, функция возрастает на $$\left(\frac{3}{10};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;\frac{3}{10}\right).$$

3. $$y=x^2+2x$$

   $$y’=2x+2=2(x+1)$$

   $$2(x+1)>0 \Rightarrow x>-1$$

   Значит, функция возрастает на $$(-1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1).$$

4. $$y=x^2+12x-100$$

   $$y’=2x+12=2(x+6)$$

   $$2(x+6)>0 \Rightarrow x>-6$$

   Значит, функция возрастает на $$(-6;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-6).$$

5. $$y=x^3-3x$$

   $$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

   $$3(x-1)(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>1$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-1;1).$$

6. $$y=x^4-2x^2$$

   $$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$

   Исследуем знак производной по промежуткам, разделённым точками $$-1, 0, 1$$:

   $$y’>0$$ на $$(-1;0)\cup(1;+\infty),$$

   $$y'<0$$ на $$(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

   Значит, функция возрастает на $$(-1;0)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

7. $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$

   $$y’=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)=6(x+2)(x-3)$$

   $$6(x+2)(x-3)>0 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>3$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$$ и убывает на $$(-2;3).$$

8. $$y=x^3-6x^2+9$$

   $$y’=3x^2-12x=3x(x-4)$$

   $$3x(x-4)>0 \Rightarrow x<0 \text{ или } x>4$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$ и убывает на $$\left(0;4\right).$$

Ответ

1. Возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right).$$
2. Возрастает на $$\left(\frac{3}{10};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac{3}{10}\right).$$
3. Возрастает на $$(-1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1).$$
4. Возрастает на $$(-6;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-6).$$
5. Возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$, убывает на $$(-1;1).$$
6. Возрастает на $$(-1;0)\cup(1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)\cup(0;1).$$
7. Возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$$, убывает на $$(-2;3).$$
8. Возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$, убывает на $$\left(0;4\right).$$