Упр.899 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}$$ возрастает на промежутке $$(1;+\infty)$$, убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;1)$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^2+\frac{2}{x}, \qquad x\ne 0.$$

$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=2\left(x-\frac{1}{x^2}\right)=2\cdot \frac{x^3-1}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется знаком числителя $$x^3-1.$$

Рассмотрим знак $$f'(x)$$:

• если $$x>1,$$ то $$x^3-1>0,$$ значит $$f'(x)>0$$ и функция возрастает;
• если $$0<x<1,$$ то $$x^3-1<0,$$ значит $$f'(x)<0$$ и функция убывает;
• если $$x<0,$$ то $$x^3-1<0,$$ значит $$f'(x)<0$$ и функция убывает.

Следовательно, функция $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}$$ возрастает на промежутке $$\left(1;+\infty\right)$$ и убывает на промежутках $$\left(-\infty;0\right)$$ и $$\left(0;1\right).$$

Ответ

Функция возрастает на $$\left(1;+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;0\right)$$ и $$\left(0;1\right).$$