Упр.898 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Две параллельные касательные к графику функции $$y=x^3-6$$ пересекают оси координат: одна — в точках $$A$$ и $$B$$, другая — в точках $$C$$ и $$D$$. Найти площадь треугольника $$AOB$$, если она в 4 раза меньше площади треугольника $$COD$$.

Пусть касательные проведены в точках с абсциссами $$x=a$$ и $$x=b$$. Тогда для функции $$y=x^3-6$$ имеем

$$f'(x)=3x^2,$$

уравнение касательной в точке $$x=a$$:

$$y=(a^3-6)+3a^2(x-a)=3a^2x-2a^3-6.$$

Аналогично для точки $$x=b$$:

$$y=3b^2x-2b^3-6.$$

Найдём точки пересечения касательных с осями координат.

Для первой касательной:

$$A(0,\,-2a^3-6), \qquad B\left(\frac{2(a^3+3)}{3a^2},\,0\right).$$

Для второй касательной:

$$C(0,\,-2b^3-6), \qquad D\left(\frac{2(b^3+3)}{3b^2},\,0\right).$$

Площади треугольников:

$$S_{AOB}=\frac12 \cdot \left| -2a^3-6 \right| \cdot \left| \frac{2(a^3+3)}{3a^2} \right|=\frac{2}{3}\cdot \frac{(a^3+3)^2}{a^2},$$

$$S_{COD}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(b^3+3)^2}{b^2}.$$

Так как касательные параллельны, их угловые коэффициенты равны:

$$3a^2=3b^2 \;\Rightarrow\; a^2=b^2 \;\Rightarrow\; b=\pm a.$$

По условию $$S_{AOB}$$ в 4 раза меньше $$S_{COD}$$, значит

$$4S_{AOB}=S_{COD}.$$

Подставим формулы площадей:

$$4\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{(a^3+3)^2}{a^2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(b^3+3)^2}{b^2}.$$

С учётом $$b=-a$$ получаем

$$4(a^3+3)^2=(-a^3+3)^2.$$

Обозначим $$t=a^3$$. Тогда

$$4(t+3)^2=(3-t)^2,$$

$$4(t^2+6t+9)=t^2-6t+9,$$

$$3t^2+30t+27=0,$$

$$t^2+10t+9=0,$$

$$t=-1 \quad \text{или} \quad t=-9.$$

Тогда

$$a^3=-1 \Rightarrow a=-1,$$

или

$$a^3=-9 \Rightarrow a=-\sqrt[3]{9}.$$

Найдём площадь $$S_{AOB}$$:

$$S_{AOB}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(a^3+3)^2}{a^2}.$$

При $$a=-1$$:

$$S_{AOB}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(-1+3)^2}{1}=\frac{2}{3}\cdot 4=\frac{8}{3}.$$

При $$a=-\sqrt[3]{9}$$:

$$S_{AOB}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(-9+3)^2}{\left(\sqrt[3]{9}\right)^2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{36}{\sqrt[3]{81}}=\frac{8}{\sqrt[3]{3}}.$$

Ответ: $$\frac{8}{3}$$ или $$\frac{8}{\sqrt[3]{3}}$$.