Упр.898 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 898 Две параллельные касательные к графику функции у = х3 — 6 пересекают оси координат: одна — в точках А и В, другая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если она в 4 раза меньше площади треугольника COD. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 898 1111

Подробный ответ

Пусть касательная к графику $$y=x^3-6$$ проведена в точке с абсциссой $$t$$. Тогда

$$f'(x)=3x^2,$$
$$y=f(t)+f'(t)(x-t)=(t^3-6)+3t^2(x-t)=3t^2x-2t^3-6.$$

Найдём точки пересечения этой касательной с осями координат:

при $$x=0$$ получаем $$A(0,\,-2t^3-6)$$;
при $$y=0$$ получаем
$$3t^2x-2t^3-6=0,$$
$$x=\dfrac{2t^3+6}{3t^2}=\dfrac{2(t^3+3)}{3t^2},$$
значит, $$B\left(\dfrac{2(t^3+3)}{3t^2},\,0\right).$$

Площадь треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac12\cdot \left| -2t^3-6 \right|\cdot \left| \frac{2(t^3+3)}{3t^2} \right| =\frac{2}{3}\cdot \frac{(t^3+3)^2}{t^2}.$$

Для второй параллельной касательной с абсциссой $$u$$ аналогично:

$$S_{COD}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(u^3+3)^2}{u^2}.$$

Так как касательные параллельны, их угловые коэффициенты равны:

$$3t^2=3u^2 \Rightarrow t^2=u^2 \Rightarrow u=\pm t.$$

Случай $$u=t$$ не подходит, так как касательные совпадают. Значит, $$u=-t$$.

По условию $$S_{AOB}$$ в 4 раза меньше $$S_{COD}$$, то есть

$$4S_{AOB}=S_{COD}.$$

Подставим $$u=-t$$:

$$4\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{(t^3+3)^2}{t^2} =\frac{2}{3}\cdot \frac{((-t)^3+3)^2}{(-t)^2}.$$

Сокращая, получаем

$$4(t^3+3)^2=(3-t^3)^2.$$

Обозначим $$z=t^3$$. Тогда

$$4(z+3)^2=(3-z)^2,$$
$$4(z^2+6z+9)=z^2-6z+9,$$
$$3z^2+30z+27=0,$$
$$z^2+10z+9=0.$$

$$z=-1 \quad \text{или} \quad z=-9.$$

Тогда

$$t^3=-1 \Rightarrow t=-1,$$
$$t^3=-9 \Rightarrow t=-\sqrt[3]{9}.$$

Найдём площадь $$S_{AOB}$$:

при $$t=-1$$
$$S_{AOB}=\frac{2}{3}\cdot \frac{((-1)^3+3)^2}{(-1)^2} =\frac{2}{3}\cdot 2^2=\frac{8}{3};$$

при $$t=-\sqrt[3]{9}$$
$$S_{AOB}=\frac{2}{3}\cdot \frac{((- \sqrt[3]{9})^3+3)^2}{(-\sqrt[3]{9})^2} =\frac{2}{3}\cdot \frac{(-9+3)^2}{\sqrt[3]{81}} =\frac{8}{\sqrt[3]{3}}.$$