Упр.897 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти общие касательные к графикам функций $$f(x)=x^2-4x+3$$ и $$g(x)=-x^2+6x-10$$.

Пусть $$y=kx+b$$ — общая касательная к графикам функций $$f(x)=x^2-4x+3$$ и $$g(x)=-x^2+6x-10.$$

Для параболы $$y=x^2-4x+3$$ производная равна $$f'(x)=2x-4.$$ Если касание происходит в точке с абсциссой $$a,$$ то угловой коэффициент касательной:

$$k=f'(a)=2a-4,$$

а уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Подставим $$f(a)=a^2-4a+3$$:

$$\begin{aligned} y&=a^2-4a+3+(2a-4)(x-a)\\ &=(2a-4)x+(3-a^2). \end{aligned}$$

Для параболы $$y=-x^2+6x-10$$ производная равна $$g'(x)=-2x+6.$$ Если касание происходит в точке с абсциссой $$b,$$ то

$$k=g'(b)=6-2b,$$

и уравнение касательной:

$$\begin{aligned} y&=g(b)+g'(b)(x-b)\\ &=-b^2+6b-10+(6-2b)(x-b)\\ &=(6-2b)x+(b^2-10). \end{aligned}$$

Так как касательная общая, то её коэффициенты совпадают:

$$\begin{cases} 2a-4=6-2b,\\ 3-a^2=b^2-10. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$a+b=5,\qquad a=5-b.$$

Подставим во второе:

$$3-(5-b)^2=b^2-10.$$

Раскроем скобки:

$$3-(25-10b+b^2)=b^2-10,$$

$$-22+10b-b^2=b^2-10,$$

$$2b^2-10b+12=0,$$

$$b^2-5b+6=0.$$

Тогда

$$(b-2)(b-3)=0,$$

откуда $$b=2$$ или $$b=3.$$

Найдём соответствующие $$a$$:

$$a=5-b,$$

значит, при $$b=2$$ имеем $$a=3,$$ а при $$b=3$$ имеем $$a=2.$$

Теперь запишем уравнения касательных:

1) при $$a=3$$:

$$y=(2\cdot 3-4)x+(3-3^2)=2x-6;$$

2) при $$a=2$$:

$$y=(2\cdot 2-4)x+(3-2^2)=-1.$$

Ответ

$$y=2x-6,\quad y=-1.$$