Упр.895 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 895 Найти расстояние от начала координат до той касательной к графику функции у = х ln х, которая параллельна оси абсцисс. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 895 1111

Пусть $$f(x)=x\ln x.$$ Тогда

$$f'(x)=\ln x+1.$$

Касательная параллельна оси абсцисс, значит её угловой коэффициент равен нулю:

$$f'(x)=0,$$

откуда

$$\ln x+1=0,$$

$$\ln x=-1,$$

$$x=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y=f\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}\cdot(-1)=-\frac{1}{e}.$$

Касательная горизонтальна, значит расстояние от начала координат до неё равно модулю ординаты:

$$d=\left|-\frac{1}{e}\right|=\frac{1}{e}.$$

Ответ

$$\frac{1}{e}$$