Упр.895 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти расстояние от начала координат до той касательной к графику функции $$y=x\ln x$$, которая параллельна оси абсцисс.

Найдём производную функции $$y=x\ln x.$$

$$y’=(x)’ \ln x + x(\ln x)’=\ln x+1.$$

Касательная параллельна оси абсцисс, значит её угловой коэффициент равен нулю:

$$\ln x+1=0,$$

откуда

$$\ln x=-1,\qquad x=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}\cdot(-1)=-\frac{1}{e}.$$

Значит, касательная имеет уравнение $$y=-\frac{1}{e}.$$

Расстояние от начала координат до этой прямой равно модулю её ординаты:

$$d=\left|-\frac{1}{e}\right|=\frac{1}{e}.$$

Ответ: $$\frac{1}{e}.$$