Упр.894 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все такие точки графика функции $$y=\frac{4^x-2^{x+1}}{\ln 4}$$, в которых касательная к этому графику параллельна прямой $$y=2x+5$$.

$$f(x)=\frac{4^x-2^{x+1}}{\ln 4}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{4^x\ln 4-2^{x+1}\ln 2}{\ln 4}$$

Так как $$\ln 4=2\ln 2,$$ то

$$f'(x)=\frac{4^x\ln 4-2^{x+1}\cdot \frac12\ln 4}{\ln 4}=4^x-2^x=2^{2x}-2^x.$$

Касательная параллельна прямой $$y=2x+5,$$ значит её угловой коэффициент равен $$2$$. Тогда

$$2^{2x}-2^x=2.$$

Положим $$t=2^x,$$ где $$t>0.$$ Получим:

$$t^2-t-2=0.$$

$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0,$$

откуда $$t=2$$ или $$t=-1.$$

Так как $$t>0,$$ то подходит только $$t=2.$$ Следовательно,

$$2^x=2,\quad x=1.$$

Найдём ординату точки:

$$f(1)=\frac{4^1-2^{1+1}}{\ln 4}=\frac{4-4}{\ln 4}=0.$$

Искомая точка графика: $$\left(1;0\right).$$

Ответ

$$\left(1;0\right)$$