Упр.893 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Выяснить, при каких значениях $$p$$ касательная, проведённая к графику функции $$y=x^3-px$$ в его точке с абсциссой $$x_0=1$$, проходит через точку $$M(2;3)$$.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$y=x^3-px$$ в точке с абсциссой $$x_0=1$$.

Производная:

$$y’ = 3x^2-p.$$

Тогда

$$y(1)=1-p,$$

$$y'(1)=3-p.$$

Уравнение касательной:

$$y-(1-p)=(3-p)(x-1).$$

Преобразуем:

$$y=1-p+(3-p)(x-1),$$

$$y=(3-p)x-2.$$

Так как касательная проходит через точку $$M(2;3)$$, подставим её координаты в уравнение:

$$3=(3-p)\cdot 2-2,$$

$$3=6-2p-2,$$

$$3=4-2p,$$

$$2p=1,$$

$$p=\frac12.$$

Ответ

$$p=\frac12$$