Упр.892 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Прямая касается гиперболы $$y=\frac{k}{x}$$, где $$k>0$$, в точке с абсциссой $$x_0$$.

1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.

2) Доказать, что эта касательная проходит через точки $$\left(x_0;\frac{2k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right)$$.

Найдём уравнение касательной к гиперболе $$y=\frac{k}{x},\quad k>0$$ в точке с абсциссой $$x_0.$$

Производная:

$$y’=-\frac{k}{x^2},\qquad y'(x_0)=-\frac{k}{x_0^2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{k}{x_0}=-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0).$$

Преобразуем:

$$y=\frac{k}{x_0}-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0) =\frac{k}{x_0}-\frac{kx}{x_0^2}+\frac{k}{x_0} =\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{x}{x_0}\right).$$

1)

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

При $$x=0$$ получаем:

$$y=\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{0}{x_0}\right)=\frac{2k}{x_0}.$$

Значит, с осью $$Oy$$ касательная пересекается в точке $$A\left(0;\frac{2k}{x_0}\right).$$

При $$y=0$$:

$$\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{x}{x_0}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad 2-\frac{x}{x_0}=0 \quad\Rightarrow\quad x=2x_0.$$

Значит, с осью $$Ox$$ касательная пересекается в точке $$B(2x_0;0).$$

Площадь треугольника $$AOB$$ равна

$$S=\frac12\cdot OA\cdot OB =\frac12\cdot \frac{2k}{x_0}\cdot 2x_0 =2k.$$

Она не зависит от $$x_0.$$

2)

Проверим, что точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right)$$ лежат на касательной.

Для точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$:

$$y=\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{x_0}{x_0}\right) =\frac{k}{x_0}(2-1) =\frac{k}{x_0}.$$

Для точки $$\left(2x_0;0\right)$$:

$$y=\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{2x_0}{x_0}\right) =\frac{k}{x_0}(2-2)=0.$$

Обе точки принадлежат касательной.

Ответ

1) $$S=2k.$$

2) Касательная проходит через точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right).$$