Упр.892 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.
2) Доказать, что эта касательная проходит через точки (х0; 2k/x0) и (2х0; 0).

Найдём уравнение касательной к гиперболе $$y=\frac{k}{x}$$ в точке с абсциссой $$x_0$$.

Производная:

$$y’=-\frac{k}{x^2}, \qquad y'(x_0)=-\frac{k}{x_0^2}.$$

Уравнение касательной:

$$ y-\frac{k}{x_0}=-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0). $$

Преобразуем:

$$ y=-\frac{k}{x_0^2}x+\frac{2k}{x_0}. $$

1) Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

С осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем

$$y=\frac{2k}{x_0}.$$

С осью $$Ox$$: при $$y=0$$

$$ -\frac{k}{x_0^2}x+\frac{2k}{x_0}=0, $$

откуда

$$x=2x_0.$$

Значит, треугольник ограничен осями координат и касательной, имеет катеты

$$AO=\frac{2k}{x_0}, \qquad OB=2x_0.$$

Его площадь равна

$$ S=\frac12 \cdot AO \cdot OB =\frac12 \cdot \frac{2k}{x_0}\cdot 2x_0 =2k. $$

Площадь не зависит от положения точки касания.

2) Проверим, что касательная проходит через точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right)$$.

Подставим $$x=x_0$$:

$$ y=-\frac{k}{x_0^2}\cdot x_0+\frac{2k}{x_0} =-\frac{k}{x_0}+\frac{2k}{x_0} =\frac{k}{x_0}. $$

Подставим $$x=2x_0$$:

$$ y=-\frac{k}{x_0^2}\cdot 2x_0+\frac{2k}{x_0} =-\frac{2k}{x_0}+\frac{2k}{x_0} =0. $$

Следовательно, касательная проходит через указанные точки.

Ответ

1) $$S=2k$$. 2) Касательная проходит через точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right)$$.