Упр.891 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 891 Прямая касается гиперболы у = 4/x в точке (1; 4). Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 891 1111

Найдём уравнение касательной к гиперболе $$y=\frac{4}{x}$$ в точке $$A(1;4)$$.

Производная:

$$y’=-\frac{4}{x^2}$$

Тогда угловой коэффициент касательной в точке $$x=1$$ равен

$$y'(1)=-4.$$

Уравнение касательной:

$$y-4=-4(x-1)$$

$$y=-4x+8.$$

Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат:

с осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем $$y=8$$, значит точка $$B(0;8)$$;

с осью $$Ox$$: при $$y=0$$ имеем

$$-4x+8=0$$

$$x=2,$$

значит точка $$C(2;0)$$.

Треугольник, ограниченный касательной и осями координат, имеет катеты $$8$$ и $$2$$, поэтому его площадь равна

$$S=\frac12 \cdot 8 \cdot 2=8.$$

Ответ

$$8$$