Упр.890 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти уравнения касательных к графику функции $$y=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}$$, параллельных $$y=6x$$.

Найдём уравнения касательных к графику функции $$y=\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2,$$ параллельных прямой $$y=6x.$$

У касательной, параллельной данной прямой, угловой коэффициент равен $$6$$. Тогда

$$y’ = x^2-5x,$$

и нужно решить уравнение

$$x^2-5x=6.$$

Получаем

$$x^2-5x-6=0,$$

$$D=25+24=49,$$

$$x_1=\frac{5-7}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{5+7}{2}=6.$$

Найдём уравнения касательных в этих точках.

1) При $$x=-1$$:

$$y(-1)=\frac{1}{3}(-1)^3-\frac{5}{2}(-1)^2=-\frac{1}{3}-\frac{5}{2}=-\frac{17}{6},$$

$$y'(-1)=(-1)^2-5(-1)=1+5=6.$$

Уравнение касательной:

$$y+\frac{17}{6}=6(x+1),$$

$$y=6x+\frac{19}{6}.$$

2) При $$x=6$$:

$$y(6)=\frac{1}{3}\cdot 6^3-\frac{5}{2}\cdot 6^2=72-90=-18,$$

$$y'(6)=6^2-5\cdot 6=36-30=6.$$

Уравнение касательной:

$$y+18=6(x-6),$$

$$y=6x-54.$$

Ответ: $$y=6x+\frac{19}{6};\quad y=6x-54.$$