Упр.89 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{x+y}{x^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}}+\frac{x-y}{x^{\frac23}+x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}}-\frac{x^{\frac23}-y^{\frac23}}{x^{\frac13}-y^{\frac13}}$$

Обозначим $$a=x^{\frac13},\quad b=y^{\frac13}.$$ Тогда $$x=a^3,\ y=b^3,$$ и выражение примет вид

$$\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}+\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2-b^2}{a-b}.$$

Используем формулы:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\quad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Тогда
$$\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}=a+b,\qquad \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b,\qquad \frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b.$$

Следовательно,
$$a+b+a-b-(a+b)=a-b=x^{\frac13}-y^{\frac13}.$$

Ответ: $$x^{\frac13}-y^{\frac13}.$$

$$\frac{(a-b)^2}{a^{\frac32}-b^{\frac32}}+\frac{a^2-b^2}{\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)\left(a+a^{\frac12}b^{\frac12}+b\right)}$$

Разложим числитель и знаменатель второй дроби:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$
$$a^{\frac32}-b^{\frac32}=\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right),$$
$$a+a^{\frac12}b^{\frac12}+b=\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)^2-a^{\frac12}b^{\frac12}.$$

Удобнее ввести $$u=a^{\frac12},\ v=b^{\frac12}.$$ Тогда $$a=u^2,\ b=v^2,$$ и выражение равно

$$\frac{(u^2-v^2)^2}{u^3-v^3}+\frac{u^4-v^4}{(u+v)(u^2+uv+v^2)}.$$

Используем разложения:
$$u^2-v^2=(u-v)(u+v),\quad u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2),\quad u^4-v^4=(u-v)(u+v)(u^2+v^2).$$

Тогда после сокращения получаем
$$2(u+v)=2\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right).$$

Ответ: $$2\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right).$$

$$\left(\frac{3x^{\frac23}+5x^{\frac13}}{x+1}+\frac{1}{x^{\frac15}+1}\right):\left(4x^{\frac13}+4+\frac{1}{x^{\frac13}}\right)$$

Обозначим $$t=x^{\frac13}.$$ Тогда $$x=t^3,\ x^{\frac23}=t^2,\ x^{\frac15}=x^{\frac15}$$ — в данном выражении удобно привести первую скобку к общему знаменателю:

$$\frac{3t^2+5t}{t^3+1}+\frac{1}{x^{\frac15}+1}.$$

По условию на изображении вторая дробь имеет знаменатель $$x^{\frac13}+1=t+1,$$ поэтому
$$\frac{1}{x^{\frac13}+1}=\frac{1}{t+1}.$$

Тогда
$$\frac{3t^2+5t}{t^3+1}+\frac{1}{t+1}=\frac{3t^2+5t+t^2-t+1}{t^3+1}=\frac{4t^2+4t+1}{t^3+1}=\frac{(2t+1)^2}{t^3+1}.$$

Вторая скобка:
$$4t+4+\frac{1}{t}= \frac{1}{t}(2t+1)^2.$$

Поэтому
$$\frac{(2t+1)^2}{t^3+1}:\frac{1}{t}(2t+1)^2=\frac{t}{t^3+1}.$$

Так как $$t=x^{\frac13},$$ получаем
$$\frac{x^{\frac13}}{x+1}.$$

Ответ: $$\frac{x^{\frac13}}{x+1}.$$