Упр.889 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$:
   1) $$y=2\sin x/2$$, $$x_0=\frac{3\pi}{2}$$;
   2) $$y=2^{-x}-2^{-2x}$$, $$x_0=2$$;
   3) $$y=\frac{x+2}{3-x}$$, $$x_0=2$$;
   4) $$y=x+\ln x$$, $$x_0=e$$.

1) $$y=2\sin\frac{x}{2},\quad x_0=\frac{3\pi}{2}.$$

Найдём значение функции и производной в точке $$x_0$$:

$$y\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2,$$

$$y'(x)=2\cdot\left(\sin\frac{x}{2}\right)’=2\cdot\frac12\cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2},$$

$$y’\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\sqrt2=-\frac{\sqrt2}{2}\left(x-\frac{3\pi}{2}\right).$$

После преобразования получаем:

$$y=-\frac{\sqrt2}{2}x+\sqrt2+\frac{3\pi\sqrt2}{4}.$$

2) $$y=2^{-x}-2^{-2x},\quad x_0=2.$$

Вычислим значение функции и производной:

$$y(2)=2^{-2}-2^{-4}=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16},$$

$$y'(x)=-(\ln2)\,2^{-x}+2(\ln2)\,2^{-2x}=\ln2\,(2\cdot2^{-2x}-2^{-x}),$$

$$y'(2)=\ln2\left(2\cdot2^{-4}-2^{-2}\right)=\ln2\left(\frac18-\frac14\right)=-\frac{\ln2}{8}.$$

Тогда касательная:

$$y-\frac3{16}=-\frac{\ln2}{8}(x-2).$$

Следовательно,

$$y=-\frac{\ln2}{8}x+\frac3{16}+\frac{\ln2}{4}.$$

3) $$y=\frac{x+2}{3-x},\quad x_0=2.$$

Найдём значение функции и производную:

$$y(2)=\frac{2+2}{3-2}=4,$$

$$y'(x)=\frac{(x+2)'(3-x)-(x+2)(3-x)’}{(3-x)^2}=\frac{(3-x)+(x+2)}{(3-x)^2}=\frac5{(3-x)^2},$$

$$y'(2)=\frac5{(3-2)^2}=5.$$

Уравнение касательной:

$$y-4=5(x-2),$$

откуда

$$y=5x-6.$$

4) $$y=x+\ln x,\quad x_0=e.$$

Вычислим значение функции и производную:

$$y(e)=e+\ln e=e+1,$$

$$y'(x)=1+\frac1x,\qquad y'(e)=1+\frac1e.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y-(e+1)=\left(1+\frac1e\right)(x-e).$$

После упрощения получаем:

$$y=x+\frac{x}{e}.$$

Ответ

1) $$y=-\frac{\sqrt2}{2}x+\sqrt2+\frac{3\pi\sqrt2}{4}$$

2) $$y=-\frac{\ln2}{8}x+\frac3{16}+\frac{\ln2}{4}$$

3) $$y=5x-6$$

4) $$y=x+\frac{x}{e}$$