Упр.888 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Под каким углом пересекаются графики функций: 1) $$y=2\sqrt{x}$$ и $$y=2\sqrt{6-x}$$; 2) $$y=\sqrt{2x+1}$$ и $$y=1$$.

1) Найдём точку пересечения графиков:

$$2\sqrt{x}=2\sqrt{6-x}$$

$$\sqrt{x}=\sqrt{6-x}$$

$$x=6-x$$

$$2x=6,\quad x=3.$$

Найдём угловые коэффициенты касательных в точке пересечения.

Для $$y=2\sqrt{x}$$:

$$y’ = 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}},$$

$$k_1=y'(3)=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$\alpha_1=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$$

Для $$y=2\sqrt{6-x}$$:

$$y’ = 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{6-x}}\cdot(-1)=-\frac{1}{\sqrt{6-x}},$$

$$k_2=y'(3)=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$\alpha_2=\arctan\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}.$$

Угол между графиками равен углу между касательными:

$$\beta=\alpha_1-\alpha_2=\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{3}.$$

2) Найдём точку пересечения графиков:

$$\sqrt{2x+1}=1$$

$$2x+1=1$$

$$2x=0,\quad x=0.$$

Найдём угловые коэффициенты касательных.

Для $$y=\sqrt{2x+1}$$:

$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},$$

$$k_1=y'(0)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1.$$

Тогда

$$\alpha_1=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

Для $$y=1$$:

$$y’=0,$$

$$k_2=0,\qquad \alpha_2=0.$$

Следовательно,

$$\beta=\alpha_1-\alpha_2=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3}$$; 2) $$\frac{\pi}{4}$$.