Упр.887 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых неравенство $$f'(x)<0$$ не имеет действительных решений, если:
1) $$f(x)=ax^7+x^3-1$$;
2) $$f(x)=x^5+ax^3+3$$;
3) $$f(x)=(x+a)\sqrt{x}$$;
4) $$f(x)=x+\frac{a}{x}$$.

1) $$f(x)=ax^7+x^3-1$$

Найдём производную:

$$f'(x)=7ax^6+3x^2=x^2(7ax^4+3).$$

Неравенство $$f'(x)<0$$ не имеет действительных решений, если выражение $$x^2(7ax^4+3)$$ не бывает отрицательным. Так как $$x^2\ge 0$$ при всех $$x$$, то отрицательным оно может быть только при $$x\ne 0$$ и $$7ax^4+3<0$$.

Чтобы решений не было, нужно, чтобы неравенство

$$7ax^4+3<0$$

не имело решений. Это возможно при $$a\ge 0$$, так как тогда $$7ax^4+3\ge 3>0$$.

Ответ: $$a\ge 0$$.

2) $$f(x)=x^5+ax^3+3$$

Найдём производную:

$$f'(x)=5x^4+3ax^2=x^2(5x^2+3a).$$

Неравенство $$f'(x)<0$$ не имеет действительных решений, если не имеет решений неравенство

$$5x^2+3a<0.$$

Так как $$x^2\ge 0$$, то решений не будет при $$a\ge 0$$.

Ответ: $$a\ge 0$$.

3) $$f(x)=(x+a)\sqrt{x}$$

Область определения: $$x\ge 0$$. Для производной нужно $$x>0$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt{x}+(x+a)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+a}{2\sqrt{x}}.$$

При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому

$$f'(x)<0 \iff 3x+a<0.$$

Это неравенство не имеет решений при $$a\ge 0$$, так как тогда $$3x+a>0$$ для всех $$x>0$$.

Ответ: $$a\ge 0$$.

4) $$f(x)=x+\frac{a}{x}$$

Область определения: $$x\ne 0$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=1-\frac{a}{x^2}=\frac{x^2-a}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то

$$f'(x)<0 \iff x^2-a<0 \iff x^2<a.$$

Чтобы это неравенство не имело действительных решений, нужно $$a\le 0$$.

Ответ: $$a\le 0$$.