Упр.886 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$f'(x)=0$$ не имеет действительных корней, если:
1) $$f(x)=ax^2-\frac{1}{x^2}$$;
2) $$f(x)=ax+\frac{1}{x}$$;
3) $$f(x)=ax^3+3x^2+6x$$;
4) $$f(x)=x^3+6x^2+ax$$.
1) $$f(x)=ax^2-\frac{1}{x^2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2ax+\frac{2}{x^3}=2\left(ax+\frac{1}{x^3}\right).$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$ при $$x\neq 0$$:
$$ax+\frac{1}{x^3}=0,$$
$$ax^4+1=0,$$
$$x^4=-\frac{1}{a}.$$
Чтобы действительных корней не было, нужно, чтобы правая часть была отрицательной или равной нулю, то есть
$$-\frac{1}{a}\le 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a\ge 0.$$
Ответ: $$a\ge 0.$$
2) $$f(x)=ax+\frac{1}{x}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=a-\frac{1}{x^2}.$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$ при $$x\neq 0$$:
$$a-\frac{1}{x^2}=0,$$
$$ax^2-1=0,$$
$$x^2=\frac{1}{a}.$$
Действительных корней не будет, если $$\frac{1}{a}<0$$, то есть
$$a\le 0.$$
Ответ: $$a\le 0.$$
3) $$f(x)=ax^3+3x^2+6x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3ax^2+6x+6=3(ax^2+2x+2).$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$ax^2+2x+2=0.$$
Чтобы оно не имело действительных корней, нужно
$$D=2^2-4\cdot a\cdot 2=4-8a<0.$$
Отсюда
$$1-2a<0,\qquad a>\frac12.$$
Ответ: $$a>\frac12.$$
4) $$f(x)=x^3+6x^2+ax$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+12x+a.$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$3x^2+12x+a=0.$$
Для отсутствия действительных корней требуется
$$D=12^2-4\cdot 3\cdot a=144-12a<0.$$
Тогда
$$12-a<0,\qquad a>12.$$
Ответ: $$a>12.$$
