Упр.886 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = ax2-1/x2;
2) f(x) = ax + 1/x;
3) f(x) = ax3+3×2+6x;
4) f(x) = x3+6×2+ax.

Подробный ответ

$$f(x)=ax^2-\frac{1}{x^2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2ax+\frac{2}{x^3}=2\left(ax+\frac{1}{x^3}\right).$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$ax+\frac{1}{x^3}=0,\quad x\ne 0$$
$$ax^4+1=0.$$
Чтобы действительных корней не было, нужно, чтобы уравнение $$ax^4=-1$$ не имело решений. Так как $$x^4\ge 0,$$ это возможно при $$a\ge 0.$$
$$f(x)=ax+\frac{1}{x}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=a-\frac{1}{x^2}.$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$a-\frac{1}{x^2}=0,\quad x\ne 0$$
$$ax^2-1=0.$$
Чтобы действительных корней не было, нужно, чтобы уравнение $$ax^2=1$$ не имело решений. Так как $$x^2\ge 0,$$ это возможно при $$a\le 0.$$
$$f(x)=ax^3+3x^2+6x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3ax^2+6x+6=3(ax^2+2x+2).$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$ax^2+2x+2=0.$$
Чтобы действительных корней не было, дискриминант должен быть отрицательным:
$$D=2^2-4\cdot a\cdot 2=4-8a<0.$$
$$1-2a<0,\quad a>\frac12.$$
$$f(x)=x^3+6x^2+ax$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+12x+a.$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$3x^2+12x+a=0.$$
Чтобы действительных корней не было, дискриминант должен быть отрицательным:
$$D=12^2-4\cdot 3\cdot a=144-12a<0.$$
$$12-a<0,\quad a>12.$$