Упр.885 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 885 Найти все значения а, при которых f'(x) < = 0 для всех действительных значений х, если f (х) = ах3 - 6х2 - х. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 885 1111

Найдём производную функции:

$$f(x)=ax^3-6x^2-x$$

$$f'(x)=3ax^2-12x-1$$

Требуется, чтобы $$f'(x)\le 0$$ для всех действительных $$x$$. Это возможно только тогда, когда квадратный трёхчлен $$3ax^2-12x-1$$ не принимает положительных значений при любых $$x$$.

Для этого необходимо:

$$3a<0$$

и

$$D\le 0$$

где

$$D=(-12)^2-4\cdot 3a\cdot(-1)=144+12a$$

Тогда

$$144+12a\le 0$$

$$12+a\le 0$$

$$a\le -12$$

Это условие уже удовлетворяет требованию $$3a<0$$.

Ответ

$$a\le -12$$