Упр.884 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых $$f'(x)\geq 0$$ для всех действительных значений $$x$$, если $$f(x)=x^3+3x^2+ax$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=(x^3+3x^2+ax)’=3x^2+6x+a.$$

Требуется, чтобы $$f'(x)\ge 0$$ при всех действительных $$x$$. Это возможно тогда и только тогда, когда квадратный трёхчлен $$3x^2+6x+a$$ не имеет отрицательных значений, то есть его дискриминант не положителен:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot a=36-12a\le 0.$$

Отсюда

$$36-12a\le 0,$$

$$12a\ge 36,$$

$$a\ge 3.$$

Ответ: $$a\ge 3.$$