Упр.883 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти значения $$x$$, при которых значение производной функции $$f(x)$$ равно нулю; положительно; отрицательно:
- $$f(x)=2x+2^{-x}$$;
- $$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$;
- $$f(x)=x+\ln 2x$$;
- $$f(x)=x+\ln(2x+1)$$;
- $$f(x)=6^x-x-\sqrt{x}$$;
- $$f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-3x$$.
1) $$f(x)=2^x+2^{-x}$$
$$f'(x)=(2^x)’ + (2^{-x})’ = 2^x\ln 2 — 2^{-x}\ln 2 = \ln 2\,(2^x-2^{-x})$$
Так как $$\ln 2>0,$$ знак производной определяется выражением $$2^x-2^{-x}.$$
$$f'(x)=0 \iff 2^x=2^{-x} \iff x=0.$$
Следовательно, $$f'(x)>0$$ при $$x>0,$$ а $$f'(x)<0$$ при $$x<0.$$
2) $$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$
$$f'(x)=(3^{2x})’-(2x\ln 3)’=2\cdot 3^{2x}\ln 3-2\ln 3=2\ln 3\,(3^{2x}-1)$$
Так как $$2\ln 3>0,$$ знак производной определяется выражением $$3^{2x}-1.$$
$$f'(x)=0 \iff 3^{2x}=1 \iff 3^{2x}=3^0 \iff x=0.$$
Значит, $$f'(x)>0$$ при $$x>0,$$ а $$f'(x)<0$$ при $$x<0.$$
3) $$f(x)=x+\ln 2x$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=1+(\ln 2x)’=1+\frac{1}{x}.$$
На области определения $$x>0$$ имеем $$1+\frac{1}{x}>0,$$ поэтому производная нигде не обращается в нуль и всегда положительна.
Следовательно, $$f'(x)>0$$ при $$x>0,$$ а значений, при которых $$f'(x)<0,$$ нет.
4) $$f(x)=x+\ln(2x+1)$$
Область определения: $$2x+1>0,$$ то есть $$x>-\frac12.$$
$$f'(x)=1+\frac{2}{2x+1}.$$
$$f'(x)=0 \iff 1+\frac{2}{2x+1}=0 \iff 2x+1+2=0 \iff 2x+3=0 \iff x=-\frac32.$$
Но $$x=-\frac32$$ не принадлежит области определения, значит, нулей у производной нет.
При $$x>-\frac12$$ знаменатель $$2x+1>0,$$ поэтому $$\frac{2}{2x+1}>0$$ и, следовательно, $$f'(x)>0.$$
Значений, при которых $$f'(x)<0,$$ нет.
5) $$f(x)=6x-x\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
$$f'(x)=6-(x\sqrt{x})’=6-\frac{3}{2}\sqrt{x}.$$
$$f'(x)=0 \iff 6-\frac{3}{2}\sqrt{x}=0 \iff 12-3\sqrt{x}=0 \iff \sqrt{x}=4 \iff x=16.$$
$$f'(x)>0 \iff 6-\frac{3}{2}\sqrt{x}>0 \iff \sqrt{x}<4 \iff 0\le x<16.$$
$$f'(x)<0 \iff \sqrt{x}>4 \iff x>16.$$
6) $$f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-3x$$
Область определения: $$x\ge -1.$$
$$f'(x)=\bigl((x+1)\sqrt{x+1}\bigr)’-(3x)’=\frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3.$$
$$f'(x)=0 \iff \frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3=0 \iff \sqrt{x+1}=2 \iff x=3.$$
$$f'(x)>0 \iff \frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3>0 \iff \sqrt{x+1}>2 \iff x>3.$$
$$f'(x)<0 \iff \sqrt{x+1}<2 \iff -1\le x<3.$$
Ответ
1) $$f'(x)=0$$ при $$x=0,$$ $$f'(x)>0$$ при $$x>0,$$ $$f'(x)<0$$ при $$x<0.$$
2) $$f'(x)=0$$ при $$x=0,$$ $$f'(x)>0$$ при $$x>0,$$ $$f'(x)<0$$ при $$x<0.$$
3) $$f'(x)>0$$ при $$x>0,$$ значений, при которых $$f'(x)=0$$ или $$f'(x)<0,$$ нет.
4) $$f'(x)>0$$ при $$x>-\frac12,$$ значений, при которых $$f'(x)=0$$ или $$f'(x)<0,$$ нет.
5) $$f'(x)=0$$ при $$x=16,$$ $$f'(x)>0$$ при $$0\le x<16,$$ $$f'(x)<0$$ при $$x>16.$$
6) $$f'(x)=0$$ при $$x=3,$$ $$f'(x)>0$$ при $$x>3,$$ $$f'(x)<0$$ при $$-1\le x<3.$$
