Упр.883 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f (х) = 2х + 2^-х;
2) f (х) = 3^2x- 2х ln 3;
3) f (х) = х + ln 2х;
4) f (х) = х + ln (2х + 1);
5) f (х) = 6х — х — корень x;
6) f (х) = (х + 1) корень (х + 1) — 3х.

1. $$f(x)=2^x+2^{-x}$$

   $$f'(x)=(2^x)’ +(2^{-x})’=2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2=\ln 2\,(2^x-2^{-x})$$

   $$f'(x)=0 \iff 2^x-2^{-x}=0 \iff 2^x=2^{-x} \iff x=0$$

   Так как $$\ln 2>0$$, то знак производной совпадает со знаком выражения $$2^x-2^{-x}$$:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<0$$

2. $$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$

   $$f'(x)=(3^{2x})’-(2x\ln 3)’=2\cdot 3^{2x}\ln 3-2\ln 3=2\ln 3\,(3^{2x}-1)$$

   $$f'(x)=0 \iff 3^{2x}-1=0 \iff 3^{2x}=1 \iff 3^{2x}=3^0 \iff x=0$$

   Так как $$2\ln 3>0$$, то

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<0$$

3. $$f(x)=x+\ln 2x,\qquad x>0$$

   $$f'(x)=1+\frac{1}{x}$$

   $$f'(x)=0 \iff 1+\frac{1}{x}=0 \iff x=-1$$

   Но $$x>0$$, значит корней нет.

   При $$x>0$$ имеем $$1+\frac{1}{x}>0$$, поэтому

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>0$$

   Значений $$x$$, при которых $$f'(x)<0$$, нет.

4. $$f(x)=x+\ln(2x+1),\qquad x>-\frac12$$

   $$f'(x)=1+\frac{2}{2x+1}$$

   $$f'(x)=0 \iff 1+\frac{2}{2x+1}=0 \iff 2x+3=0 \iff x=-\frac32$$

   Но $$x>-\frac12$$, значит корней нет.

   При $$x>-\frac12$$ знаменатель $$2x+1>0$$, поэтому

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>-\frac12$$

   Значений $$x$$, при которых $$f'(x)<0$$, нет.

5. $$f(x)=6x-x\sqrt{x},\qquad x\ge 0$$

   $$f'(x)=6-\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

   $$f'(x)=0 \iff 6-\frac{3}{2}\sqrt{x}=0 \iff \sqrt{x}=4 \iff x=16$$

   Тогда

   $$f'(x)>0 \text{ при } 0\le x<16,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>16$$

6. $$f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-3x,\qquad x\ge -1$$

   $$f'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3$$

   $$f'(x)=0 \iff \frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3=0 \iff \sqrt{x+1}=2 \iff x=3$$

   Тогда

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>3,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<3$$

Ответ

1) $$f'(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$.
2) $$f'(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$.
3) $$f'(x)=0$$ — нет; $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$; $$f'(x)<0$$ — нет.
4) $$f'(x)=0$$ — нет; $$f'(x)>0$$ при $$x>-\frac12$$; $$f'(x)<0$$ — нет.
5) $$f'(x)=0$$ при $$x=16$$; $$f'(x)>0$$ при $$0\le x<16$$; $$f'(x)<0$$ при $$x>16$$.
6) $$f'(x)=0$$ при $$x=3$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>3$$; $$f'(x)<0$$ при $$-1<x<3$$.