Упр.880 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 880

Подробный ответ

$$y=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$ y’=\frac{(1-\cos 2x)'(1+\cos 2x)-(1-\cos 2x)(1+\cos 2x)’}{(1+\cos 2x)^2} $$
$$ y’=\frac{2\sin 2x(1+\cos 2x)-(1-\cos 2x)(-2\sin 2x)}{(1+\cos 2x)^2} $$
$$ y’=\frac{2\sin 2x+2\sin 2x\cos 2x+2\sin 2x-2\sin 2x\cos 2x}{(1+\cos 2x)^2} =\frac{4\sin 2x}{(1+\cos 2x)^2} $$
Так как $$1+\cos 2x=2\cos^2 x,$$ то
$$ y’=\frac{4\sin 2x}{(2\cos^2 x)^2}=\frac{\sin 2x}{\cos^4 x}. $$
$$y=\frac{\sqrt{x+4}}{4x}$$
Применим формулу производной частного:
$$ y’=\frac{(\sqrt{x+4})’\cdot 4x-\sqrt{x+4}\cdot (4x)’}{(4x)^2} $$
$$ y’=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}\cdot 4x-4\sqrt{x+4}}{16x^2} =\frac{\frac{2x}{\sqrt{x+4}}-4\sqrt{x+4}}{16x^2} $$
$$ y’=\frac{2x-4(x+4)}{16x^2\sqrt{x+4}} =\frac{-2x-16}{16x^2\sqrt{x+4}} =\frac{-x-8}{8x^2\sqrt{x+4}}. $$
$$y=\frac{x}{\sqrt{x+2}}$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(\,x\,)’\sqrt{x+2}-x(\sqrt{x+2})’}{(\sqrt{x+2})^2} $$
$$ y’=\frac{\sqrt{x+2}-x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}}{x+2} =\frac{2(x+2)-x}{2(x+2)\sqrt{x+2}} =\frac{x+4}{2(x+2)\sqrt{x+2}}. $$
$$y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$$
Используем формулу производной частного:
$$ y’=\frac{(\sin x+\cos x)'(\sin x-\cos x)-(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)’}{(\sin x-\cos x)^2} $$
$$ y’=\frac{(\cos x-\sin x)(\sin x-\cos x)-(\sin x+\cos x)(\cos x+\sin x)}{(\sin x-\cos x)^2} $$
$$ y’=\frac{-\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x-\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x\cos x}{\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x} $$
$$ y’=\frac{-2(\sin^2 x+\cos^2 x)}{1-\sin 2x} =\frac{-2}{1-\sin 2x} =\frac{2}{\sin 2x-1}. $$