Упр.880 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$y=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$y’=\frac{(1-\cos 2x)'(1+\cos 2x)-(1-\cos 2x)(1+\cos 2x)’}{(1+\cos 2x)^2}$$

$$y’=\frac{2\sin 2x(1+\cos 2x)-(1-\cos 2x)(-2\sin 2x)}{(1+\cos 2x)^2}$$

$$y’=\frac{2\sin 2x+2\sin 2x\cos 2x+2\sin 2x-2\sin 2x\cos 2x}{(1+\cos 2x)^2} =\frac{4\sin 2x}{(1+\cos 2x)^2}$$

Так как $$1+\cos 2x=2\cos^2 x,$$ то

$$y’=\frac{4\sin 2x}{(2\cos^2 x)^2}=\frac{\sin 2x}{\cos^4 x}$$

2) $$y=\frac{\sqrt{x+4}}{4x}$$

Применим формулу производной частного:

$$y’=\frac{\left(\sqrt{x+4}\right)’ \cdot 4x-\sqrt{x+4}\cdot (4x)’}{(4x)^2}$$

$$y’=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}\cdot 4x-4\sqrt{x+4}}{16x^2}$$

$$y’=\frac{2x-4(x+4)}{16x^2\sqrt{x+4}} =\frac{-2x-16}{16x^2\sqrt{x+4}} =\frac{-x-8}{8x^2\sqrt{x+4}}$$

3) $$y=\frac{x}{\sqrt{x+2}}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(\,x\,)’\sqrt{x+2}-x\left(\sqrt{x+2}\right)’}{(\sqrt{x+2})^2}$$

$$y’=\frac{\sqrt{x+2}-x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}}{x+2} =\frac{2(x+2)-x}{2(x+2)\sqrt{x+2}} =\frac{x+4}{2(x+2)\sqrt{x+2}}$$

4) $$y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$$

Используем формулу производной частного:

$$y’=\frac{(\sin x+\cos x)'(\sin x-\cos x)-(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)’}{(\sin x-\cos x)^2}$$

$$y’=\frac{(\cos x-\sin x)(\sin x-\cos x)-(\sin x+\cos x)(\cos x+\sin x)}{(\sin x-\cos x)^2}$$

$$y’=\frac{-\left(\cos x-\sin x\right)^2-\left(\sin x+\cos x\right)^2}{(\sin x-\cos x)^2} =\frac{-2(\sin^2 x+\cos^2 x)}{(\sin x-\cos x)^2}$$

$$y’=\frac{-2}{(\sin x-\cos x)^2}$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ а $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$(\sin x-\cos x)^2=1-\sin 2x$$

Следовательно,

$$y’=\frac{-2}{1-\sin 2x}=\frac{2}{\sin 2x-1}$$

Ответ

1) $$\frac{\sin 2x}{\cos^4 x}$$; 2) $$\frac{-x-8}{8x^2\sqrt{x+4}}$$; 3) $$\frac{x+4}{2(x+2)\sqrt{x+2}}$$; 4) $$\frac{2}{\sin 2x-1}$$.