Упр.88 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(a-b)(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})-(a+b)(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})}$$
   Раскроем скобки:
   $$\frac{a\sqrt[3]{a}+a\sqrt[3]{b}-b\sqrt[3]{a}-b\sqrt[3]{b}-a\sqrt[3]{a}+a\sqrt[3]{b}-b\sqrt[3]{a}+b\sqrt[3]{b}}{a^{\frac23}-b^{\frac23}}$$
   $$=\frac{2a\sqrt[3]{b}-2b\sqrt[3]{a}}{a^{\frac23}-b^{\frac23}}$$
   Вынесем общий множитель:
   $$\frac{2\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)}{a^{\frac23}-b^{\frac23}}$$
   Так как $$a^{\frac23}-b^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right),$$
   получаем:
   $$\frac{2\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$

2. $$\frac{a+b}{a^{\frac23}-a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}}-\frac{a-b}{a^{\frac23}+a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}}$$
   Используем формулы:
   $$a^{\frac23}-a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}=\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}},$$
   $$a^{\frac23}+a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}=\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}.$$
   Тогда
   $$\frac{a+b}{\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}}-\frac{a-b}{\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}}$$
   $$=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)=2\sqrt[3]{b}.$$

3. $$\frac{a^{\frac23}+b^{\frac23}}{a-b}-\frac{1}{a^{\frac13}-b^{\frac13}}$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{a^{\frac23}+b^{\frac23}}{a-b}-\frac{a^{\frac13}+b^{\frac13}}{(a^{\frac13}-b^{\frac13})(a^{\frac13}+b^{\frac13})}$$
   Так как
   $$a-b=(a^{\frac13}-b^{\frac13})(a^{\frac23}+a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}),$$
   то
   $$\frac{a^{\frac23}+b^{\frac23}}{a-b}-\frac{1}{a^{\frac13}-b^{\frac13}}= \frac{a^{\frac23}+b^{\frac23}-(a^{\frac23}+a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23})}{a-b}$$
   $$=\frac{-a^{\frac13}b^{\frac13}}{a-b}=-\frac{\sqrt[3]{ab}}{a-b}.$$

4. $$\frac{a^{\frac23}+b^{\frac23}}{a+b}+\frac{1}{a^{\frac23}-a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}}$$
   Используем разложение:
   $$a+b=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac23}-a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{a^{\frac23}+b^{\frac23}}{a+b}+\frac{1}{a^{\frac23}-a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}}$$
   $$=\frac{a^{\frac23}+b^{\frac23}}{a+b}+\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{a+b}$$
   $$=\frac{a^{\frac23}+b^{\frac23}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{a+b}.$$
   После упрощения получаем:
   $$\frac{2\sqrt[3]{a}}{a-b}.$$

Ответ

1. $$\frac{2\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$
2. $$2\sqrt[3]{b}$$
3. $$-\frac{\sqrt[3]{ab}}{a-b}$$
4. $$\frac{2\sqrt[3]{a}}{a-b}$$