Упр.879 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 879. Найти производную функции: 1) $$y=\cos^2 3x$$; 2) $$y=\sin x\cos x+x$$; 3) $$y=(x^3+1)\cos^2 x$$; 4) $$y=\sin^2 x/2$$; 5) $$y=(x+1)\sqrt[3]{x^2}$$; 6) $$y=\sqrt[3]{(x-1)(x^4-1)}$$.

1) $$y=\cos^2 3x$$

Пусть $$u=\cos 3x,$$ тогда $$y=u^2.$$

Тогда

$$y’ = 2u\cdot u’ = 2\cos 3x\cdot(-3\sin 3x)=-6\sin 3x\cos 3x=-3\sin 6x.$$

Ответ: $$-3\sin 6x$$

2) $$y=\sin x\cos x+x$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$y’=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’+(x)’$$

$$y’=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)+1=\cos^2 x-\sin^2 x+1.$$

Так как $$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$ получаем

$$y’=\cos 2x+1.$$

Ответ: $$\cos 2x+1$$

3) $$y=(x^3+1)\cos 2x$$

По правилу произведения:

$$y’=(x^3+1)’\cos 2x+(x^3+1)(\cos 2x)’$$

$$y’=3x^2\cos 2x+(x^3+1)(-2\sin 2x).$$

Следовательно,

$$y’=3x^2\cos 2x-2(x^3+1)\sin 2x.$$

Ответ: $$3x^2\cos 2x-2(x^3+1)\sin 2x$$

4) $$y=\sin^2 \frac{x}{2}$$

Используем правило цепочки:

$$y’=2\sin \frac{x}{2}\cdot \left(\sin \frac{x}{2}\right)’=2\sin \frac{x}{2}\cdot \frac12 \cos \frac{x}{2}.$$

Тогда

$$y’=\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac12 \sin x.$$

Ответ: $$\frac12 \sin x$$

5) $$y=(x+1)\sqrt[3]{x^2}$$

По правилу произведения:

$$y’=(x+1)’\sqrt[3]{x^2}+(x+1)\left(\sqrt[3]{x^2}\right)’$$

$$y’=\sqrt[3]{x^2}+(x+1)\cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=\frac{3x+2x+2}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{5x+2}{3\sqrt[3]{x}}.$$

Ответ: $$\frac{5x+2}{3\sqrt[3]{x}}$$

6) $$y=\sqrt[3]{x-1}\,(x^4-1)$$

По правилу произведения:

$$y’=\left(\sqrt[3]{x-1}\right)'(x^4-1)+\sqrt[3]{x-1}\cdot (x^4-1)’$$

$$y’=\frac{1}{3}(x-1)^{-2/3}(x^4-1)+\sqrt[3]{x-1}\cdot 4x^3.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=\frac{x^4-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}+4x^3\sqrt[3]{x-1}$$

$$y’=\frac{x^4-1+12x^3(x-1)}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}=\frac{13x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}.$$

Ответ: $$\frac{13x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$