Упр.879 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

879 1) y=cos2 3x;
2) y=sinxcosx+x;
3) y=(x3+1)cos2x;
4) y=sin2 x/2;
5) y=(x+1) корень 3 cтепени x2;
6) y= корень 3 cтепени (x-1) (x4-1).

1. $$y=\cos^2 3x$$

   Пусть $$u=\cos 3x$$, тогда $$y=u^2$$. По правилу цепочки:

   $$ y’ = 2u \cdot u’ = 2\cos 3x \cdot (-3\sin 3x) = -6\sin 3x \cos 3x = -3\sin 6x $$

2. $$y=\sin x \cos x + x$$

   Тогда

   $$ y’=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’+(x)’ $$

   $$ y’=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)+1=\cos^2 x-\sin^2 x+1 $$

   $$ y’=\cos 2x+1 $$

3. $$y=(x^3+1)\cos 2x$$

   По правилу произведения:

   $$ y’=(x^3+1)’\cos 2x+(x^3+1)(\cos 2x)’ $$

   $$ y’=3x^2\cos 2x+(x^3+1)(-2\sin 2x) $$

   $$ y’=3x^2\cos 2x-2(x^3+1)\sin 2x $$

4. $$y=\sin^2 \frac{x}{2}$$

   Используем формулу $$\sin^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$:

   $$ y’=\left(\frac{1-\cos x}{2}\right)’=\frac{1}{2}\sin x $$

5. $$y=(x+1)\sqrt[3]{x^2}$$

   По правилу произведения:

   $$ y’=(x+1)’\sqrt[3]{x^2}+(x+1)\left(\sqrt[3]{x^2}\right)’ $$

   $$ y’=\sqrt[3]{x^2}+(x+1)\cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} $$

   $$ y’=\sqrt[3]{x^2}+\frac{2(x+1)}{3\sqrt[3]{x}} =\frac{3x+2x+2}{3\sqrt[3]{x}} =\frac{5x+2}{3\sqrt[3]{x}} $$

6. $$y=\sqrt[3]{x-1}\,(x^4-1)$$

   По правилу произведения:

   $$ y’=\left(\sqrt[3]{x-1}\right)'(x^4-1)+\sqrt[3]{x-1}\,(x^4-1)’ $$

   $$ y’=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}(x^4-1)+\sqrt[3]{x-1}\cdot 4x^3 $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ y’=\frac{x^4-1+12x^3(x-1)}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} =\frac{13x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} $$

Ответ

1) $$y’=-3\sin 6x$$;
2) $$y’=\cos 2x+1$$;
3) $$y’=3x^2\cos 2x-2(x^3+1)\sin 2x$$;
4) $$y’=\frac{1}{2}\sin x$$;
5) $$y’=\frac{5x+2}{3\sqrt[3]{x}}$$;
6) $$y’=\frac{13x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$.