Упр.877 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$:

1. $$y=x^2-2x$$, $$x_0=3$$;
2. $$y=x^3+3x$$, $$x_0=3$$;
3. $$y=\sin x$$, $$x_0=\frac{\pi}{6}$$;
4. $$y=\cos x$$, $$x_0=\frac{\pi}{3}$$.

1) Для функции $$y=x^2-2x$$ в точке $$x_0=3$$:

$$y'(x)=2x-2,$$
$$y'(3)=2\cdot 3-2=4,$$
$$y(3)=3^2-2\cdot 3=9-6=3.$$

Уравнение касательной:

$$y=3+4(x-3),$$
$$y=4x-9.$$

2) Для функции $$y=x^3+3x$$ в точке $$x_0=3$$:

$$y'(x)=3x^2+3,$$
$$y'(3)=3\cdot 3^2+3=27+3=30,$$
$$y(3)=3^3+3\cdot 3=27+9=36.$$

Уравнение касательной:

$$y=36+30(x-3),$$
$$y=30x-54.$$

3) Для функции $$y=\sin x$$ в точке $$x_0=\frac{\pi}{6}$$:

$$y'(x)=\cos x,$$
$$y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right),$$
$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{\pi\sqrt{3}}{12}.$$

4) Для функции $$y=\cos x$$ в точке $$x_0=\frac{\pi}{3}$$:

$$y'(x)=-\sin x,$$
$$y’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right),$$
$$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{\pi\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ

1) $$y=4x-9$$
2) $$y=30x-54$$
3) $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$$
4) $$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{\pi\sqrt{3}}{6}$$