Упр.876 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$, если:
   1) $$f(x)=\cos x\sin x$$, $$x_0=\frac{\pi}{6}$$;
   2) $$f(x)=e^x\ln x$$, $$x_0=1$$;
   3) $$f(x)=\frac{2\cos x}{\sin x}$$, $$x_0=\frac{\pi}{4}$$;
   4) $$f(x)=\frac{x}{1+e^x}$$, $$x_0=0$$.

1) $$f(x)=\cos x\sin x$$

$$f'(x)=(\cos x)’\sin x+\cos x(\sin x)’=-\sin^2 x+\cos^2 x=\cos 2x$$

$$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$$

2) $$f(x)=e^x\ln x$$

$$f'(x)=(e^x)’\ln x+e^x(\ln x)’=e^x\ln x+\frac{e^x}{x}=e^x\left(\ln x+\frac1x\right)$$

$$f'(1)=e\left(\ln 1+1\right)=e$$

3) $$f(x)=\frac{2\cos x}{\sin x}$$

$$f'(x)=\frac{(2\cos x)’\sin x-2\cos x(\sin x)’}{\sin^2 x}=\frac{-2\sin^2 x-2\cos^2 x}{\sin^2 x}=-\frac{2}{\sin^2 x}$$

$$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{4}}=-\frac{2}{\frac12}=-4$$

4) $$f(x)=\frac{x}{1+e^x}$$

$$f'(x)=\frac{(x)'(1+e^x)-x(1+e^x)’}{(1+e^x)^2}=\frac{1+e^x-xe^x}{(1+e^x)^2}$$

$$f'(0)=\frac{1+e^0-0\cdot e^0}{(1+e^0)^2}=\frac{2}{4}=\frac12$$

Ответ

1) $$\frac12$$; 2) $$e$$; 3) $$-4$$; 4) $$\frac12$$.